2025 年 1 月“长沙市联考”考前猜想卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合A= { x y=ln(1−x)} ,B= { y y=e1−x } ，则AB=（ ）
A．(−∞,1) B．(0,1) C．(1,+∞) D．∅
2．若复数z满足z=i(1−i)，则复平面内表示z的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
sin40°⋅sin80°
3．计算: 2⋅ =（ ）
cos40°+cos60°
2 1 2 1
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
4．已知向量a =(2,x)，b =(3,1)，若 ( 2a −b ) ⊥b ，则 a +b =（ ）
A． 29 B．2 C．5 D． 10
6
5．已知( x2+a ) 2x− 1 的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（ ）
x
A．−60 B．100 C．−260 D．380
6．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数
列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解
九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，
试卷第1页，共6页
学科网（北京）股份有限公司最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A．464 B．465 C．466 D．495
x2 y2 5
7．已知双曲线C: − =1，两焦点分别为F,F ，过右焦点F 作直线l交右支于A，B点，且AB= AF ，
a2 b2 1 2 2 3 2
π
若∠FAB= ，则双曲线C的离心率为（ ）
1 3
7 3 5
A． B． C． D．2
5 2 3
x
8．已知函数 f (x)=ln(x−1)，g(x)= ，若 f (x )=g(x )，则x −x 的取值范围是（ ）
e 1 2 1 2
1
A．
,+∞ B．[1,+∞) C．[ 2,+∞) D．[e,+∞)
e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知抛物线C： 的焦点F 到准线的距离是4，直线l过它的焦点F 且与C交于 ，
2
两点，M𝑦𝑦为弦=A2𝑝𝑝B𝑝𝑝的(𝑝𝑝中>点0，) 则下列说法正确的是（ ） 𝐴𝐴(𝑝𝑝1,𝑦𝑦1)
𝐵𝐵(𝑝𝑝 A 2,．𝑦𝑦2 抛 ) 物线C的焦点坐标是(2,0)
B．xx =4
1 2
C．若x +x =5，则 AB =7
1 2
D．若以M 为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
π
10．已知 f (x)=2sin2 ωx+ −1(ω>0)，则（ ）
6
π
A．若 f (x )=1, f (x )=−1，且 x −x = ，则ω=2
1 2 1 2 min 2
π
B．∃ω∈(0,2)，使得 f (x)的图象向左平移 个单位长度后所得图象关于原点对称
6
3 π 2π
C．当ω= 时，函数y= f (x)+m(m∈R),x∈− , 恰有三个零点x､､x x ，且x <x <x ，则
2 9 3 1 2 3 1 2 3
试卷第2页，共6页14
x +2x +x = π
1 2 3 9
4 11
D．若 f (x)在(0,π)上恰有2个极大值点和1个极小值点，则ω∈ ,
3 6
11．点P是棱长为1的正方体ABCD−ABCD的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ）
1
A．当P在平面CC DD上运动时，四棱锥P−ABBA的体积变大．
1 1 1
π π
B．当P在线段AC上运动时，D
1
P与A
1
C
1
所成角的取值范围是
3
,
2
6
C．若F是AB 的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面BCD 时，PF长度的最小值是
1 1 1 1
2
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为45的点P的轨迹长度为2 2+π
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2 1
12．已知直线l :(a−2)x−3y+5=0和l :3x−(b+1)y−7=0互相垂直，且a,b∈R+，则 + 的最小值
1 2 a b
为 ．
4 2
13．已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为 ，出现B性状的概率为 ，
15 15
7
A、B两种遗传性状都不出现的概率为 ．则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为 ．
10
1
14．已知函数 f (x)=lnx+x2−ax有两个极值点m,n，且m∈
,1
，则 f (m)− f (n)的取值范围是
2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图PA⊥平面ABCD,PA= AC =4,BC =2,AB=2 3．
试卷第3页，共6页
学科网（北京）股份有限公司(1)若AD//平面PBC，证明：AD⊥PB；
π
(2)若AD=2,∠ACD= ，求平面PBD和平面PDC夹角的余弦值．
6
16．为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考
试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加
考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布N
( µ,σ2)
．
(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于(97.5,130.5]区间内的学生共有4772人．甲市学生A
的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次；
(2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在
(µ−3σ,150]之外的人数，求P(Y ≥1)的概率及随机变量Y的数学期望．
附：参考数据：0.9987500 ≈0.5218,0.9987499 ≈0.5225
参考公式：若X ∼N
( µ,σ2)
,有P(µ−σ< X <µ+σ)=0.6826,P(µ−2σ< X <µ+2σ)=0.9544，
P(µ−3σ< X <µ+3σ)=0.9974．
试卷第4页，共6页17．已知函数 f (x)=(x−2)( ex−ax ) ，a∈R.
(1)求函数y= f (x)的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数y= f (x)的一条以上述一个定点为切点的切
线；
(2)讨论函数y= f (x)的单调性；
(3)当a=0时，证明： f (x+2)(lnx+x−1)+e2 ≥0.
x2 y2 1
18．已知椭圆Γ: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F ，离心率e= ，点D在椭圆上，且DF ⋅FF =0，
a2 b2 1 2 2 1 1 2
3
DF = ．
1 2
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)过点F 的动直线l与椭圆Γ交于A，B两点（不与椭圆的左、右顶点重合）．
1
π
①当l的倾斜角为 时，求△ABF 的面积；
3 2
②点P为椭圆Γ的右顶点，直线PA、PB分别与y轴相交于点M、N，求证以MN为直径的圆被x轴截得的
弦长为定值．
试卷第5页，共6页
学科网（北京）股份有限公司(a +a ++a )−a
19．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a }为递增数列，且满足a ∈N*，若b = 1 2 m n ，
n n n m−1
且b ∈N*，则称{b }为{a }的“伴随数列”.
n n n
(1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；
(2)若{b }为{a }的“伴随数列”，证明：b >b >>b ；
n n 1 2 m
(3)已知数列{a }存在“伴随数列” {b }，且a =1，a =2025，求m的最大值.
n n 1 m
试卷第6页，共6页
