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2025 年 1 月“长沙市联考”考前猜想卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合A= { x y=ln(1−x)} ,B= { y y=e1−x } ，则AB=（ ）
A．(−∞,1) B．(0,1) C．(1,+∞) D．∅
2．若复数z满足z=i(1−i)，则复平面内表示z的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
sin40°⋅sin80°
3．计算: 2⋅ =（ ）
cos40°+cos60°
2 1 2 1
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
4．已知向量a =(2,x)，b =(3,1)，若 ( 2a −b ) ⊥b ，则 a +b =（ ）
A． 29 B．2 C．5 D． 10
6
5．已知( x2+a ) 2x− 1 的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（ ）
x
A．−60 B．100 C．−260 D．380
6．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数
列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解
九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，
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学科网（北京）股份有限公司最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A．464 B．465 C．466 D．495
x2 y2 5
7．已知双曲线C: − =1，两焦点分别为F,F ，过右焦点F 作直线l交右支于A，B点，且AB= AF ，
a2 b2 1 2 2 3 2
π
若∠FAB= ，则双曲线C的离心率为（ ）
1 3
7 3 5
A． B． C． D．2
5 2 3
x
8．已知函数 f (x)=ln(x−1)，g(x)= ，若 f (x )=g(x )，则x −x 的取值范围是（ ）
e 1 2 1 2
1
A．
,+∞ B．[1,+∞) C．[ 2,+∞) D．[e,+∞)
e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知抛物线C： 的焦点F 到准线的距离是4，直线l过它的焦点F 且与C交于 ，
2
两点，M𝑦𝑦为弦=A2𝑝𝑝B𝑝𝑝的(𝑝𝑝中>点0，) 则下列说法正确的是（ ） 𝐴𝐴(𝑝𝑝1,𝑦𝑦1)
𝐵𝐵(𝑝𝑝 A 2,．𝑦𝑦2 抛 ) 物线C的焦点坐标是(2,0)
B．xx =4
1 2
C．若x +x =5，则 AB =7
1 2
D．若以M 为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
π
10．已知 f (x)=2sin2 ωx+ −1(ω>0)，则（ ）
6
π
A．若 f (x )=1, f (x )=−1，且 x −x = ，则ω=2
1 2 1 2 min 2
π
B．∃ω∈(0,2)，使得 f (x)的图象向左平移 个单位长度后所得图象关于原点对称
6
3 π 2π
C．当ω= 时，函数y= f (x)+m(m∈R),x∈− , 恰有三个零点x､､x x ，且x b>0)的左、右焦点分别为F,F ，离心率e= ，点D在椭圆上，且DF ⋅FF =0，
a2 b2 1 2 2 1 1 2
3
DF = ．
1 2
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)过点F 的动直线l与椭圆Γ交于A，B两点（不与椭圆的左、右顶点重合）．
1
π
①当l的倾斜角为 时，求△ABF 的面积；
3 2
②点P为椭圆Γ的右顶点，直线PA、PB分别与y轴相交于点M、N，求证以MN为直径的圆被x轴截得的
弦长为定值．
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学科网（北京）股份有限公司(a +a ++a )−a
19．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a }为递增数列，且满足a ∈N*，若b = 1 2 m n ，
n n n m−1
且b ∈N*，则称{b }为{a }的“伴随数列”.
n n n
(1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；
(2)若{b }为{a }的“伴随数列”，证明：b >b >>b ；
n n 1 2 m
(3)已知数列{a }存在“伴随数列” {b }，且a =1，a =2025，求m的最大值.
n n 1 m
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