文档内容
2024-2025 学年第二学期六校联合体 2 月学情调研测试
高三数学
一、选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1＋i －
1．复数z满足 ＝i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数 z ＝
z
A．1－i B．－1－i C．1＋i D．－1＋i
2．已知向量a＝(1，0)，b＝(x，1)，若b·(b－2a)＝0，则x＝
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停
放，则共有多少种停放方法?
A．8 B．12 C．16 D．10
4．设等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝63＋S ，a ＋a ＝12，则{a }的公差为
n n 12 3 3 12 n
A．1 B．2 C．3 D．4
π 1
5．已知函数f(x)＝sin(x＋ )－cosx在区间[0，t]上的最小值为－ ，则t的最大值为
6 2
π π 5π 4π
A． B． C． D．
6 3 6 3
6．已知点P为直线l：x＋y－2＝0上的一点，过点P作圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1的切线PA，切点为
A，则cos∠PCA的最大值为
2 3 5 7
A． B． C． D．
4 4 4 4
f(x)
7．定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式 ≥0的解集
4x＋1－17·2x＋4
为
A．(－2，－1]∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪[－1，0)∪[1，2)
C． (－2，－1]∪{0}∪(2，＋∞) D． (－2，－1]∪[0，1]∪(2，＋∞)
x2 y2
8．已知双曲线 － ＝1(b＞a＞0)，O为坐标原点，直线l与双曲线交于A，B两点，且OA⊥OB，若
a2 b2
点O到直线l的距离不小于b，则离心率的取值范围是
1＋ 5 1＋ 5
A．(1， 3] B．( 2， ] C．( 2， 3] D．[ ， 3]
2 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分.
9．一个袋中有大小､形状完全相同的3个球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中无放回地取出2个球，记“第
一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则
－
1 1 1
A．P(B)＝ B．P(B|A)＝ C．P(A|B)＝ D．A，B相互独立
3 3 2
110．在棱长为2 3的正方体ABCD—A B C D 中，点E，F分别是棱BC，CC 的中点，下列选项中正
1 1 1 1 1
确的是
π
A．直线EF与A B所成的角为
1
4
27
B．平面AEF截正方体ABCD—A B C D 所得的截面面积为
1 1 1 1
2
C．若点P满足BP＝cos2θBC＋sin2θBB ，其中θ∈R，则三棱锥D—A C P的体积为定值
1 1 1
D．以B 为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥B —ABC表面相交的交线长为3π
1 1
11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－x，当0＜x≤1时，f(x)＝ x－x＋1，则
A．当2＜x≤3时，f(x)＝ x－2－3x＋6
B．对任意正实数k，f(x)在区间(k，k＋1)内恰有一个极大值点
2＋n－n2
C． 当n为正整数时，f(n)＝
2
193 401
D．若f(x)在区间(0，k]内有4个极大值点，则k的取值范围是[ ， )
64 100
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共15 分.
1
12．在二项式( x－ )n（n∈N*）的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为
2x
▲ ．（用数字作答）
1 1 1
13．已知等比数列{a }中，a ＝1，a ＝2，能使不等式(a － )＋(a － )＋…＋(a － )＞0成立最
n 2024 2025 1 2 m
a a a
1 2 m
小正整数m＝ ▲ ．
14．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|FB|．直线l ，
1
l 分别过点A，B，且与y轴平行，在直线l ，l 上分别取点M，N（M，N均在点A，B的上方），若
2 1 2
∠ABN和∠BAM的角平分线相交于P点，则△PAB的周长为 ▲ ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（满分13分）
π
在△ABC中，BC＝3 2，∠BAC＝ ．
3
（1）若AC＝2 3，求sinC；
（2）若D为边BC上的点且AD平分∠BAC，AD＝ 3，求△ABC的面积．
216．（满分15分）
1
梯形ABCD中，AD∥BC，E为AD上的一点且有BE⊥AD，AE＝BE＝1，BC＝ ED，将△ABE沿BE
2
翻折到△PEB使得二面角P—BE—C的平面角为θ，连接PC，PD，F为棱PD的中点．
（1）求证：FC∥面PBE；
2π
（2）当θ＝ ，PD＝ 7时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值．
3
P
E
A D
E D
B C
B C
17．（满分15分）
某运动会有两种不同价格的开幕式门票，某人花a元预定该运动会开幕式门票一张，另外还花若干元
预定乒乓球、羽毛球比赛门票各一张．根据相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些
人称为预定成功者，他们可以直接购买门票．另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人
预定的a元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定．假设获得a元开幕式门票的概
率是0.2，若未成功，仍有0.3的概率获得b元开幕式门票的机会，获得乒乓球、羽毛球门票概率均是
0.5，且获得每张门票之间互不影响．
（1）求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率；
（2）假设这个人获得门票总张数是X，求X的分布列及数学期望E(X)．
318．（满分17分）
已知f(x)＝3x－2sinx－k·lnx．
π
（1）当k＝0时，求曲线f(x)在x＝ 处的切线方程；
2
（2）当k＝1时，讨论函数f(x)的极值点个数；
（3）若存在t ，t ∈R(t ＜t )，f(et 1)＝f(et 2 )，证明：t ＋t ＜2lnk．
1 2 1 2 1 2
19．（满分17分）
已知P为圆O：x2＋y2＝4上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM
并延长至点Q，使得|MQ|＝2，点Q的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点， 连结AT，BT，
1
k ＋k ＝－ ，证明：直线l过定点；
AT BT
2
（3）若过右焦点F 的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且F B＝λAF ，当λ∈[2，3]时，求直线
2 2 2
l在y轴上的截距的取值范围．
4
