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数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A C B D D A
【解析】
1．复数 则z的共轭复数 在复平面内对应的点 位于第一象限，
故选D．
3． 且向量 与 的夹角为
，
向量 在 上的投影为
，
又 ，
向量 在 上的投影向量为 ，故选A．
4．棱长为 的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即： ，所以该球的表面积
，故选C．
5．
，故选B．
6．记小明步行上班为事件 ，骑共享单车上班为事件 ，乘坐地铁上班为事件 ，小明上
班迟到为事件 ．则 ， ， ， ，
， ， 所 以
，所以某天上班他迟到的概率是 ，故选D．
7．以 为直径的圆的方程为 ，若直线上存在一点 ，使得 ，则点
是在以 为直径的圆的内部．所以直线与圆相交. 即圆心 到直线 的距离
，所以 或 ． 或 是“ ”成立的
数学参考答案·第1页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司既不充分也不必要条件，故选D．
8．对于双曲线，原点到右支的最短距离为 ，所以在函数 上找一点 到原点的
最小值即为 ．设点 ，则
所以当 时， ，所以实轴长为 ，故选A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BCD ABC ACD AD
【解析】
9．对于不等式 成立的条件之一是： 所以 ：令 ，
，当 ，即 时取等号， 正确； ：令 ，不
满足上述基本不等式的条件， 错误； ：令 ，不满足上述基本
不等式的条件， 错误； ： ，不满足上述基本不等式的条件
错误，故选BCD．
10．对于随机事件 ， ：若 为事件 的对立事件，由条件概率的性质可知：在事
件A的条件下，事件 发生和事件 发生的概率之和为1，所以 ，
正确； ：若事件 互斥，则在事件 的条件下， 发生的概率等于在事件
的条件下， 发生的概率与 发生的概率之和．即 ，
正确； ： ， ， 事件 独立， 正
确； ：比如投掷一枚骰子，随机事件 为：向上的点数为奇数，则 ，随机事
件 为：向上的点数不小于4，则 ，
虽然 ，但事件 与事件 不
是对立事件， 错误，故选ABC．
11．在正三棱柱 中，其侧面展开图
如图1：当 取得最小值时，在
数学参考答案·第2页（共9页）
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图1侧面展开图中连接 ，分别为交 于点 ，由相似可知，
点 分别为 的三等分点， ：如图2，过点 作
交 于 点 ， 由 勾 股 定 理 得 ： ，
， ， ，∴ ，
正确； ：由 选项知： ，所以 与平面 所成的角即
为 与平面 所成的角， ，∴ 为 与平面 所成的
角．又 且 为三等分点， ， 错误；
：在正三棱柱 中， ， . 又∵
且点 为中点，∴ . 又∵ ， ，∴ ，
即直线 与 所成角为 ， 正确； ： ， ，取
的中点 ，连接 ，则 ， ，所以点 到平面 的距离等
于点 到平面 的距离，∴ ， 正确，故选ACD．
12．当 ， 时， ；当 ， 时，
；当 ， 时， （不存在）；
当 ， 时 ， ；
图3
函 数 的 图 象 如 图 3 ，
即
函数 的图象如右图4，
由图可知： 在定义域内单调递增， 正确； 关
图4
于直线 对称， 错误； 的值域为 ， 错误； 为偶函数，故其导
函数为奇函数， 正确，故选AD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
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学科网（北京）股份有限公司题号 13 14 15 16
答案
【解析】
13． 展开式中的常数项是： ．
14．假设 的图象如图5所示，∵ ， ，∴ ，
图5
∴ ， ，故答案是 ．
15．如图6，设圆柱外切长方体的底边长为 ，则高为 ，∴圆柱
的 底 面 半 径 为 ， 高 为 ， ∴ 圆 柱 的 体 积 为
，
图6
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴当 ，即
半径为 时，圆柱的体积最大．
16．因为 ，所以 ，所以点
到 直 线 的 距 离 为 时 ，
，解得 或 ．当 时，
函数 图象与直线 不相交（如图
7），从而函数 的图象上只有一点到直
图7
线 的距离为 ．当 时，函数 图象与直线 相交（如
图），从而函数 的图象上有且仅有三个点到直线 的距离为 ．综
上，要满足点 到直线 的距离为 的点有且仅有两个时， ．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
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学科网（北京）股份有限公司解：（1）在 中，∵ ，
∴ ， ， ，
∴ …………………………………………（2分）
由正弦定理得： 即：
∴
………………………………………………………………（3分）
∴由余弦定理得： ……………………………（4分）
∴ ． …………………………………………………………………（5分）
（2）由正弦定理
得： ， ， ………………………………………（7分）
∴ ………………………………………………（9分）
∴ 的面积为 ． ………………（10分）
18．（本小题满分12分）
（1）证明：当 时，此三棱锥 为正四面体，如图
8，取 的中点 ，连接 ， ．
在 正 四 面 体 中 ， ， 且
……………………………………………………（3分）
∴ ∴ ………………（5分）
图8
（2）解：当 时，
取 的中点 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ……………………（6分）
设 平 面 的 法 向 量 ， ， ，
∴ 令 得：
……………………………………………………………………（9分）
∴设直线 与平面 所成角为 ，
数学参考答案·第5页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司则
∴
∴直线 与平面 所成角的余弦值为 ． ………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件A一定是合格的．在质检员犯错误的情况下，
对于前面的元件A，B分为两大类：
第一类：元件A合格，元件B不合格，故 ………………（2分）
第二类：元件B合格，元件A不合格，故 …………………（4分）
所以该质检员犯错误的概率为： …………………（5分）
甲中，记小灯泡亮的概率为 则
，
（2）在图
…………………………………………………………………（7分）
服从二项分布：
所以 ，
则
．
…………………………………………………………………（11分）
∴X的分布列为：
0 1 2 3
…………………………………………………………………………（
分）
20．（本小题满分12分）
数学参考答案·第6页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司解：（1）当 时， ； …………………………………………………（2分）
时， ①，
当
②， ……………………………………………（4分）
①−②得：
∴ ，当 时， ，
∴ …………………………………………………………………（6分）
（2）∵
∴
………………………（8分）
∴ ①，
②，
又∵ ∴①+②得： …………………（10分）
∴ = …………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：在椭圆 中，由题意可得： …………………（2分）
又∵ 的周长为 ，
∴由椭圆的定义可知： ，即
∴
图9
∴椭圆 的标准方程为 ． ………………………（5分）
（2）证明：如图9，设： ： ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司联立方程： 得：
∴ ， ． ………………………………………（7分）
∵点 三点共线，
∴ ，即 ，
∴
∴
…………………………………………………………………（10分）
把 ， 代入得：
∴ 三点共线. …………………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
（1）解：当 时， ，
两 边 同 时 取 对 数 得 ： ， 即
，
∴ ……………………………（2
分）
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学科网（北京）股份有限公司图10
令 ，则 得： ，
所以在 上函数单调递增，在 上函数单调递减，
当 时，函数 取得最大值 ，函数图象如图10： ……………………（4分）
∴当 有两个根时， ，
∴ …………………………………………………………………（6分）
（2）证明：当 时， ， ，
由不等式 得： ，
令 得： ，
；
………………………（8分）
时：
当
由 累加可得：
.
……………………………………………………………………………（10分）
∵
又 ，
∴ ，
即： ，结论成立．
时，
因此，当 成立．
…………………………………………………………………（12分）
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