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吉林省普通高中 G8 教考联盟 2024-2025 学年上学期期末考试 5．已知 为等差数列 的前 项和，公差为 ．若 ，则（ ）
高二年级 数学
A． B． C． D． 有最小值
本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
6．已知点 为抛物线 上一动点，点 为圆 ： 上一动点，点
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效；在草稿纸、试卷上答题无效。
为抛物线的焦点，点 到 轴的距离为 ．若 的最小值为3．则 （ ）
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
A．1 B．2 C．3 D．4
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
7．已知数列 满足 ，在 ， 之间插入 个1，构成数列 ： ，1， ，1，1，
题目要求的。
1．直线 的倾斜角为（ ）
，1，1，1，1， ，…，则数列 的前100项的和为（ ）
A． B． C． D．
A．151 B．170 C．182 D． 207
2．已知向量 ， ，且 ，那么 （ ）
8．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，直线 过 且与该双曲线的一条
A． B． C． D．5
渐近线平行， 与双曲线的交点为 ，若 的内切圆半径恰为 ，则此双曲线的离心率为
3．在数列 中，若 ， ，则下列数不是 中的项的是（ ）
（ ）
A． B． C． D．2
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
4．过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 恰为线段 的中点，则直线 的 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知空间中三点 ，则（ ）
斜率为（ ）
A．
A． B． C． D．
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页）延长 与椭圆交于点Q，若 ，则直线 的斜率为 ．
B． 方向上的单位向量是
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
C． 是平面 的一个法向量
15．（13分）已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点
D． 在 上的投影向量的模为 （1）求椭圆C的标准方程：
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为 的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段
MN的长．
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，圆 与 的渐近
线相切． 为 右支上的动点，过点 作双曲线 的两渐近线的垂线，垂足分别为 ，则以
下结论中正确的有（ ） 16．（15分）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
A．两渐近线夹角为 B． 的离心率
（1）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
C． 为定值 D． 的最小值为
（2）求数列 的前n项和 ．
11．已知 是数列 的前 项和，且 ， （ ），则下列结论正确的
是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为常数列 17．（15 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， 为 的中点．
C． D． （1）若 ，证明： 平面 ；
（2）已知 ， ， ，斜线 和平面 所成的角
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
的正切值为2，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
12．已知圆 ，直线 过点 且与圆 相切，则直线 的方程为 ．
13．已知数列 的前 项和为 ，则 ． 18．（17分）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
14．设 分别是椭圆的左､右焦点，点 是以 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点， （1）求数列 的通项公式；
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页）2．【答案】C
（2）若数列 ，
【详解】由向量 ， ，且 ，得 ，则 ，则
（ⅰ）求数列 的前 项和 ；
.
（ⅱ）若 成等比数列，求数列 中的最大项及此时n的值． 3． 【答案】A
【详解】因为 ， ，所以 ， ， ， ，…，故 是以 为周期
19．（17分）已知动点M（不与坐标原点O重合）在曲线 上运动，N为线段OM中点，记N
的周期数列，-1不是数列中的项，
的轨迹为曲线 ． 4． 【答案】D
（1）求N的轨迹方程 ；
【详解】显然 在椭圆 内，当直线 的斜率不存在，即直线 方程为 时，可得
（2）P为不在x轴上的动点，过点 作（1）中曲线 的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO
垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q，
， 或 ， ，此时 不是线段 的中点，所以直线 的斜
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求 的最小值．
率存在，设 ， ，则 ，两式相减并化简得 ，
又 ， ，代入得 ，解得 ，
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5． 【答案】B
高二年级 数学学科参考答案
【详解】对于选项A：因为数列 为等差数列，则 ，即 ，
一、单选题
1． 【答案】A
可得 ，则 ，故A错误；对于选项B：因为 ，则
【详解】因为直线 的斜率为 ，故该直线的倾斜角为 .
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页），所以 ，故 B 正确；对于选项 D：因为 ，则直线 的方程为： ，即 ，设 的内切圆 与 三边
，且 ，可知 无最小值，故 D 错误，对于选项 C：因为 ，所以 相切的切点分别为 如图所示，
则 ，即 ，
，故C错误；
6.【答案】B
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，抛物线 的焦点为
即 轴，圆 的半径为 ，则 ，点 到直线 的距离为 ，整
，准线方程为 ，则由抛物线的定义知点 到y轴的距离为 ，则
理得 且 ，解得 ，所以双曲线的离心率 .
，由图知，当 共线，且 在线段 上时， 最短，
二、多选题
9． 【答案】ACD
此时 ，而 ，则 ，所以
【详解】由题意： ， ， .
. 对A：因为 ，故A正确；
7．【答案】B
对B：因为 ，即 方向上的单位向量是 ，故B错误；
【详解】可知在数列 中 中的项有7项，则这7项的和为77，则 的前100项和
为77+93=170 对C：因为 ， ，
8．【答案】D
所以 成立，故 是平面 的一个法向量，故C正确；
【详解】设双曲线 的半焦距为 c，则
对D：由 ，故D正确.
，由对称性，不妨令与 平行的渐近线为
10． 【答案】BCD
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页）为等比数列，A正确；
【详解】因为圆 与 的渐近线相切，所以圆心 到渐近线 的距离等于
时， ，即 ，故 不为常数列，B错误；
圆的半径 ，即 ，所以双曲线 ，所以双曲线 渐近线为 故 为等比数列，首项为2，公比为3，故 ，故 ， ，
……， ，以上20个式子相加得： ，
，所以两渐近线的倾斜角为 和 ，则渐近线夹角为 ，则A错误；
C错误；
因为 ，所以离心率 ，B正确；设 ，则 ，
因为 ，所以 ，两式相减得： ，
所 以 ， C 正 确 ； 因 为 当 时， ， ，……， ，以上式子相加得：
，故 ，而
由 余 弦 定 理 可 得
也符和该式，故 ，令 得： ，当 时，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，此时点 为双曲线的顶点，所以 的 ， ，……， ，以上式子相加得：
，故 ，而
最小值为 ，D正确.
11． 【答案】AD 也符号该式，故 ，令 得： ，综上： ，
【详解】当 时， ，即 ，又 ，故
D正确.
三、填空题
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页）四、解答题
12． 【答案】 和
【详解】圆 的圆心和半径分别为 ， 当直线 无斜率时，此时： 15. 【详解】（1）由题意得 ，——2分
，与圆相切，符合题意，当直线有斜率时，设 ，此时圆心 到直线的
解得 ，——2分
距离为 ，解得 ，此时直线方程为 ，即 ，综上
故椭圆的标准方程为 ．——1分
（2）由题意可得直线 的方程为 ，
可得 和
13．【答案】100
与椭圆方程联立 ，得 ，——2分
【详解】 ， ， 是等比数列， ，
14.【答案】- 4
设 ， ，则 ，——2分
【 详 解 】 如 图 ， 设 ， 则
故 ——2分
， 因 为
．——2分
是 圆 的 直 径 ， 所 以 ， 所 以
16． 【详解】（1）由 ，则 ，又 ，——3分
， 即 ， 所 以
所以数列 是首项、公差均为 的等差数列，则 ，——2分
所以 .——2分
， ，所以直线 的斜率为 .
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页）（2）由 ，则 ， ，
——3分
设平面 的法向量为 ，
所以 ，——3分
则 ，即 ，可取 ；——2分
所以 .——2分
17．【详解】（1）因为 平面 ， ， 平面 ，可知 ， ， 设平面 的法向量为 ，
在 中， 为 的中点，则 ，因为 ，所以 ，
则 ，即 ，可取 ；——2分
则 ， ，
在 中， ，——2分
从而可知 ，——2分
即 ，
所以 ，即 ，——2分
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 .——1分
又因为 ， 平面 ， 平面 ，——2分
所以 平面 ．
18． 【详解】（1）∵ ，∴当 时， ，
（2）由题意可知： 平面 ，
所以 是斜线 在平面 上的射影，即 为 和平面 所成的角，
两式相减得， ，整理得 ，即 ，——2分
在 中， ，所以 ．
又因为 ，故 ， ， 两两垂直，
∴当 时， ， 满足此式，——2分
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，——2分
∴ .——1分
则 ， ， ， ， ，
（2）①由（1）得， ，∴ ，
，
，——2分
可得 ， ， ，
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页）代入得 ．故点N的轨迹方程是 ——3分．
，——2分
（2）（ⅰ）证明：设点 ，
∴ ——2分.
设以 为切点的切线方程为 ，
②由①得， ，∴ ，
联立抛物线方程,可得 ，由 ，得 ，
∵ 成等比数列，∴ ，即 ， 所以切线AP： ，
同理切线BP： ——3分
∴ ，——2分
点P在两条切线上，则 ，
∴ ，由 在 上单调递减，
由于 均满足方程 ，故此为直线AB的方程，
在 上单调递增，——2分
由于垂直 即 ，则 ，——2分
则当 时 单调递增，当 时 单调递减， ， ，
所以直线AB的方程 ，恒过 ；——1分
（ⅱ）解：由（ⅰ）知 ，则 ，直线
因此最大项为 ，此时 或 ．——2分
联立直线AB与直线OP的方程 得 ，——2
19．【详解】（1）设 ， ， N为线段OM中点，
分
，——2分
，又 ，
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页）——2分
因此 ， 时取等号.
即 的最小值是 .——2分
数学试题 第3页 （共4页） 数学试题 第4页 （共4页）
