文档内容
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泸县普通高中共同体 2024 年秋期高二期中联合考试
数学试题
数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.
3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.
第1卷（选择题共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240人、高二 200人、高三160人中，抽取60
人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则复数 在复平面内的对应点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 与 共线，则实数 （）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 已知空间中三点 ，则点 到直线 的距离为（）
A B. C. D.
的
5. 空间中有两个不同 平面 和两条不同的直线 ，则下列说法中正确的是（）
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A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
6. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为 、 、 、
、 和 六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”
和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正
确的是（）．
A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B从2日到5日空气质量越来越好
C. 这14天中空气质量指数的中位数是214
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
7. 三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥
外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
8. 如图，在三棱锥 中，点 为底面 的重心，点 是线段 上靠近点 的三等分点，
过点 的平面分别交棱 ， ， 于点 ， ， ，若 ， ， ，
则 （）
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A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的备选答案中，有多项符
合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量 与向量 的夹角为
B.
C. 向量 在向量 上的投影向量为
D. 向量 与向量 共面
10. 下列说法正确的是（）
A. 从容量为 的总体中抽取一个容量为 的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种
不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则
B. 若 ，则事件A与事件B相互独立
C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D若 ， ，且事件A与事件B相互独立，则
11. 已知正方体 棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（）
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A. 若 ，则异面直线BP与 所成角的余弦值为
B. 若 三棱锥 的体积是定值
C. 若 ，有且仅有一个点P，使得 平面
D. 若 ，则异面直线BP和 所成角取值范围是
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是 ，则该组数据的方差__________.
13. 圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的体积为______________.
14. 如图，锐二面角 的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，
且都垂直于 .已知 ， ， ，则锐二面角 的平面角的余弦值是
___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随
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机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直
方图.
（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间 和 的居民中，采用分层随机抽样，确定了5
人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件 “两人的测试成绩分别位于 和
”，求 .
16. 记 的内角 ， ， 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 是 的中线，且 ， 的面积为 ，求 的周长．
17. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在 120分钟内未分出
胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一
球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球
员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后
双方得分一样，则进入第二阶段的比赛.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队
每位球员罚进点球的概率均为 ，乙队每位球员罚进点球的概率均为 .假设每轮罚球中，两队进球
与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以 领
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先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率．
18. 如图， 且 ， ， 且 ， 且 ，
平面 ， .
（1）设面BCF与面EFG的交线为 ，求证： ；
（2）证明:
（3）在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 ，若存在，求出P
点的位置，若不存在，说明理由.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角
均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于或
等于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：
（1）若 是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点 到各顶点的距离之和；
（2） 的内角 所对的边分别为 ，且 ，点 为 的费马点．
（i）若 ，求 ；
（ii）求 的最小值．
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泸县普通高中共同体 2024 年秋期高二期中联合考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的备选答案中，有多项符
合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BD
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
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12.
【答案】 ##
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；
（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于 和 的人数，按照古典概型计算即可.
【
小问1详解】
由频率分布直方图可知测试成绩的平均数
.
测试成绩落在区间 的频率为 ，
落在区间 的频率为 ，
所以设第57百分位数为a，有 ，
解得 ；
【小问2详解】
由题知，测试分数位于区间 、 的人数之比为 ，
所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间 中3人，用 ， ， 表示，在区间 中2
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人，用 ， 表示，
从这5人中抽取2人的所有可能情况有：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共10种，
其中“分别落在区间 和 ”有6种，
所以 .
16.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换求角 ；
（2）由三角形的面积公式得 的值，再由向量的线性运算及向量的模求 的值，最后由余弦定理求
的值.
【
小问1详解】
∵ ，
∴由正弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .即 ，
∵ ，∴ .
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∴ ，即 .
【小问2详解】
∵由题意得 ，
∴ .
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
由余弦定理得 ，
∴ .
∴ 的周长为 .
17.
【解析】
【分析】（1）根据平局的概念，列举出所包含的情况，利用概率的乘法公式，可得答案；
（2）根据第一阶段的规则，列举出符合题意的比分，利用概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.
【小问1详解】
每一轮出现平局的情况包括：事件 {甲乙两队都进球}和事件 {甲乙两队都不进}，
， ， ，
所以每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为 .
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【小问2详解】
在第三轮比完之后，甲乙两队分差小于三分，就必须要进行第四轮，
第三轮符合题意的情况包括：事件 {甲乙的比分为 }、事件 {甲乙的比分为 }、事件
{甲乙的比分为 }，
则 ， ， ；
在第四轮比完之后，甲乙两队分差小于两分，就必须进行第五轮，
在事件 发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件 {甲乙的比分为 }，
则 ；
在事件 发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件 {甲乙的比分为 }，
则 ；
在事件 发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件 {甲乙的比分为 }、事件 {甲乙
的比分为 }、事件 {甲乙的比分为 }，
则 ， ， ；
综上所述，甲队暂时以 领先，甲队第5个球员需出场罚球的概率
.
18.
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；
（2）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；
（3）则以D为原点，建立空间直角坐标系，先求出 点坐标，直线DP的方向向量与平面ABE的法向量，
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由线面角的向量公式代入即可得出答案.
【小问1详解】
因为 ， ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 且 ，所以四边形ADGE为平行四边形，
又 ，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE.
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以CD⊥面 ，
又 面 ，所以 ，又 ，
平面 ，所以 面 ，又 面 ，
所以 .
【小问3详解】
由于 ， ， ， 平面 ， ，
则以D为原点，分别以 ， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图，
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于是 ， ，设平面ABE的法向量为 ，
则 ， ，令 ，得 ，
假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成 的角的正弦值为 .
设 ， ，
，
解得： .
所以线段BE上存在点P，且 时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 .
19.
【解析】
【分析】（1）过 作 于 ，结合题意即可求解；
（2）（i）根据正弦定理求得 ，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ ii）设
，得出 ，由勾股定理得
出 ，根据基本不等式求解范围即可．
【小问1详解】
因为 为等边三角形，三个内角均小于 ，故费马点 在三角形内，满足
，且 ，如图：
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过 作 于 ，则 ，故 ，
所以该三角形的费马点 到各顶点的距离之和为 ．
【小问2详解】
（i）因为 ，由正弦定理 ，且 ，
所以 得 ，
所以 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知， ，
设 ， ，
由 得： ，
整理得 ，
则
．
（ii）由（i）知 ，所以点 在 内部，且 ，
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设 ，
所以 ，
由余弦定理得， ，
，
，
由勾股定理得， ，即 ，
所以 ，即 ，
而 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
设 ，则 ，解得 或 （舍去），
由 ，
故 ，最小值为 ．
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