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数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A B B C C
【解析】
1．因为 所以 ，故选D．
2．因为 ， ，所以 ，充分性成立；
若 ，则 ，必要性不成立，故选A．
3． A选项，直线 在同一平面才能推出 ，故A错误；B选项，若 为一底面
为 的圆锥的两条母线，则 与 所成角相同，此时 相交，故B错误；D选项，
若 ，则 平行或异面，故D错误；C选项，在平面 中分别存在直线
（异于 ），使得 ，则 ，可推出 ，从而得到 ，故 ，
故选C．
4．用水在10.2t以下的居民用户所占比例为 ，故 ．
由 得 ，故选A．
5． 是偶函数且在 上单调递增，所以 ，而
，所以 ； ，所以 ，故选B．
6．因为直线 分别过点 ，且两直线垂
直，所以点 的轨迹为圆心在 ，半径 的圆(除去点 )．因为 ，
所以 最大值为 ，故选B．
7．取 中点 ， 的三等分点 （靠近 ），则 ， 分别为平面 ，平面
数学参考答案·第1页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司与球 截面圆的圆心．由 可得 ，再由余
弦定理得 ，所以 ，在
中可得 ，故 ，所以球 的表面积为 ，故选C．
8．设右焦点坐标为 ， 因为 所
以 所以 ．在直角 中，由直线 可得
，所以 ，又因为 ，所以
．在 中， ，设 ，
则 ， 又 ， 解 得 ， 所 以 ，
，故 ，故选C．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9
题号 10 11
答案 ACD BD BC
【解析】
9．由五点作图法知， ，解得 ，于是 ，故选项A正确；由于
， ，故选项 B 错误； 的图
象关于点 对称，故点 也在 的图象上，故选项C正确；
的图象关于 对称，故点 在 的图象上，故选项D
数学参考答案·第2页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司正确，故选ACD．
10．设 ，则 ，化简得： ，所以点 的轨迹为以
为焦点的椭圆， ，A错误；当P为短轴端点时，
面积取到最大为： ，B正确；若 ，点 在以AB为
直径的圆上，因为该圆在椭圆： 内部，所以这样的点 不存在，C错误；作
，则 ， ，即当点 为右顶点
时，取到最小值4，D正确，故选BD．
11．由 ，其中 可知，点 在底面
上，当 ， 在 上，且 ，如图
1，平面 截正方体所得截面为五边形，所以 A 错误；当
时， ，点 与点 C 重合，在正方体中，
图
平面 ，所以此时 平面 ，所以 B 正确；当 时，点
上，将等边三角形 向下翻折到正方形ABCD所在的平面，当 共线
时， 取得最小值为 ，所以C正确；当 时，以点 为球心，
半径为 作球，该球与底面 的截面圆如图2，P的轨迹为
， ， ，
， ，所以动点 的轨迹长度
图
为 ，D错误，故选BC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
数学参考答案·第3页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司题号 12 13 14
答案
【解析】
12．因为圆锥的底面积为 ，所以底面圆半径为1，又因为 ，所以母线长为 ，
求得圆锥的高 ，所以体积 ．
13．因为 ，所以 ，又 ，故 ，解方程组
得 ， ．
14． ， ．设两极值点为 ，其中 .则：
，且 ， ，解得： ，此时极小值为
由于 ，所以 ，故
．令 ，则 ，所
以 在 上 单 调 递 减 ． 由 知 ， 于 是 ， 从 而
．故第一空为 ，第二空为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1） 的所有可能取值为0，1，2，其中
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
数学参考答案·第4页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司………………………………（5分）
． ………………………………（8分）
（2）记A=“2个球来自甲袋”， =“2个球来自乙袋”， =“摸到1个红球1个白
球”，
则 ，
，
故所求为 ． ………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
由题可知 ，所以 ， ………………………………（2分）
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ， . ………………………………（4分）
又 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
……………………………………………（6分）
（2）解：以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，平行
于PG
的直线为z轴，建立如图3所示坐标系 ．
，
数学参考答案·第5页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司，
图
………………………………………（9分）
设平面 法向量为 ，
则 令 ，得 ，
…………………………………………………（11分）
因为平面 的一个法向量为 ， ………………………………（13分）
设平面 和平面 夹角为 ，
所以 ． ………………………………………………………（15
分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题得 ，
设切点为 ，则 ，解得 或 ．
………………………………（2分）
当 时， ，解得 ； ………………………………（3分）
当 时， ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，于是 无解．
综上， ． ………………………………（5分）
（2）由（1）对参数 作如下讨论：
若 ，
则当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递
减，所以 ，不合题意； ………………………………（7分）
数学参考答案·第6页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司若 ，
则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递
增；当 时， ， 单调递减．
所以 ，
由于 ，只需 ，解得 ；
………………………………（9分）
若 ，
则当 时， ， 单调递减，
所以 ，符合题意；
………………………………………………………………（11分）
若 ，
则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
由于 ，只需 ，
由（1）知，当 ，故 符合题意；
………………………………………………（13分）
若 ，
则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递
增，
所以 ，
由于 ， ，故 符合题意．
综上可得， 的取值范围为 ．…………………………………………（15分）
数学参考答案·第7页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分17分）
（1）解：因为F为抛物线 的焦点，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 的面积为2，所以 ，解得 ，
所以抛物线E的方程为 ． ………………………………（5分）
（2）①证明：设 ，
联立 得 ， ，
联立 得 ， ，
………………………………………………（7分）
，代入 ，
化简得： ①，
同理得： ②， ……………………………………………（9
分）
联立①②可得：
，
所以H在定直线 上； ………………………………（11分）
②解：将H坐标 分别代入①②，
可得： ，因为 ，
数学参考答案·第8页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
代入 ，得 ，解得 ，
………………………………………………（14分）
所以 的面积为 ．
……………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）解：由题得 ，
若 ，则令 ，得 ，即 ； ……………………（1分）
当 时， ， ，即 ，
故 是首项为 、公比为2的等比数列． ……………………（4分）
所以 ． ……………………（5分）
若 ，则令 ，得 ，即 ；
当 时， ， ，即 ，
故 是首项为 、公比为 的等比数列．
所以 ．
注：本小问答案不唯一，除了上述两个还有其它符合题意的数列，可酌情给分．
（2）证明：由题得 ，
当 时， ，解得 ，结论成立；
当 时， ，即 ，
数学参考答案·第9页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司利用求根公式得 ． ……………………（7分）
而 ，所以 ．
所以 ．
综上， ． ……………………（10分）
（3）解：假设存在等差数列 是“ 数列”，
设 ，
则 ，
代入 得， ．
若 ，则 ，此时 ， ， ，即 ；
……………………………（12分）
若 ，则 ， ，即 ，
比较等式两边 的次数可知， ，即 ．
此时 ，
所以 ， ．
所以 ， ．
此时 ．
综上，当 ， ， 时， ；当 ， 时， ；
其余情形 不存在． ………………………………（15分）
数学参考答案·第10页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司当 存在时，
①若 ， ，则 的最小值为 ；
②若 ，则由 得 ，当且仅当 时取等．
而
，
所以当 ，即 时， 取到最小值 ．
综上， 最小值为 ，此时 ． ……………………（17分）
数学参考答案·第11页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
