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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．故选：C．
2.（2023新课标全国Ⅱ卷）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.故选：A.
3．（2022•新高考Ⅰ）在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，，
，即 ．故选： ．
4.（2023全国乙卷数学(理)）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰
有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【详解】首先确定相同得读物，共有 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种，故选：C.
5.（2022•甲卷）函数 在区间 ， 的图像大致为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，可知 ，
函数是奇函数，排除 ；当 时， （1） ，排除 ．故选： ．
6.（全国甲卷数学（理））“ ”是“ ”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知， 是 成立的必要不充分条件，故选B
7.（全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆
交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，则 ，解得 ，
所以双曲线的一条渐近线不妨取 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .故选：D
8.（2023全国乙卷数学（文））函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，则 ，若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2023新课标全国Ⅰ卷）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
【答案】BD
【解析】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，
则 ，因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；
例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：因为 是最小值， 是最大值，
则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准差，
例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
，则平均数 ，
标准差 ，
显然 ，即 ；故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
10．（2023新课标全国Ⅱ卷）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， ，
，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D． 的面积为
【答案】AC
【解析】依题意， ， ，所以 ，
A选项，圆锥的体积为 ，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为 ，B选项错误；
C选项，设 是 的中点，连接 ，
则 ，所以 是二面角 的平面角，
则 ，所以 ，
故 ，则 ，C选项正确；
D选项， ，所以 ，D选项错误.
故选：AC.
11．（2023新课标全国Ⅱ卷）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，
且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
第 II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共14分。
12．（2023•甲卷）若 为偶函数，则 ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设 ，
其定义域为 ，
若 为偶函数，则 ，
变形可得 ，必有 ．
13.（2023新课标全国Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为
2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
【答案】
【详解】方法一：由于 ，而截去的正四棱锥的高为 ，所以原正四棱锥的高为 ，
所以正四棱锥的体积为 ，
截去的正四棱锥的体积为 ，
所以棱台的体积为 .
方法二：棱台的体积为 .
14．（2023新高考天津卷）过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点 ，
若 ，则 的值为_________．【答案】
【详解】易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
资料来源：微信公众号 智慧学库
15．（13分）（新题型）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求 ；
(2)证明： .
【解】（1）函数 的定义域为 .
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，则切线斜率 .
故 ，解得 .
（2）证明：由（1）知 ，
从而 等价于 .
设函数 ，则 .
所以当 时， ，当 时， .故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .
设函数 ，
从而 在 上的最大值为 .
故 ，即 .
16．（15分）（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者的年龄，
得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 ， 的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为 ，该地区年龄位于区间 ， 的人口占该地区总人口的
．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ， ，求此人患这种疾病的概率（以样本数据
中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ．
【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 ， 的频率为：，
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 ， 的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间 ， 为事件 ，此人患这种疾病为事件 ，
则 ．
17 ． （ 15 分 ） （ 2023• 新 高 考 Ⅱ ） 如 图 ， 三 棱 锥 中 ， ， ，
， 为 中点．
（1）证明 ；
（2）点 满足 ，求二面角 的正弦值．
【解析】证明：（1）连接 ， ，
， 为 中点．
，
又 ， ，
与 均为等边三角形，
，
， ，
平面 ，
平面 ，
．
（2）设 ，
，， ，
，
，
又 ， ，
平面 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ，0， ，
，
，
， ， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
，令 ，解得 ， ，
故 ，1， ， ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
故 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
18．（17分）（2022•新高考Ⅰ）已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两
点，直线 ， 的斜率之和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
【解析】（1）将点 代入双曲线方程得 ，
化简得 ， ，故双曲线方程为 ，
由题显然直线 的斜率存在，设 ，设 ， ， ，
则联立双曲线得： ，
故 ， ，
，
化简得： ，
故 ，
即 ，而直线 不过 点，故 ；（2）设直线 的倾斜角为 ，由 ，
，得
由 ， ，
得 ，即 ，
联立 ，及 得 ，
同理 ，
故 ，
而 ，由 ，得 ，
故 ．
19．（17分）（2016·江苏·高考真题）记 .对数列 和 的子集 ，若 ，
定义 ；若 ，定义 .例如： 时， .现设
是公比为3的等比数列，且当 时， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）对任意正整数 ，若 ，求证： ；
（3）设 ，求证： .【解】（1）由已知得 .
于是当 时， .
又 ，故 ，即 .
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为 ， ，
所以 .
因此， .
（3）下面分三种情况证明.
①若 是 的子集，则 .
②若 是 的子集，则 .
③若 不是 的子集，且 不是 的子集.
令 ， 则 ， ， .
于是 ， ，进而由 ，得 .
设 是 中的最大数， 为 中的最大数，则 .
由（2）知， ，于是 ，所以 ，即 .
又 ，故 ，
从而 ，
故 ，所以 ，
即 .
综合①②③得， .
