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2023 级高二下学期 3 月阶段考
数学（人教 A 版）试题 C
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.请
在答题卡上作答.
第 I 卷（选择题共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一
项符合题目要求.
1. 已知空间向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 4 D.
2. 若椭圆 ： 的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线 E 的顶点和焦点，则双曲线 E 的标准
方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设等比数列 的前 项和为 ，且 恰为 和 的等差中项，则 （ ）
A 4 B. 5 C. 16 D. 17
4. “点 在圆 外”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在数列 中， ， ，记 为数列 的前 项和，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知点 的坐标为 ，动点 满足 ， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第 1页/共 4页7. 已知 是椭圆 上两点， 分别为 的左、右焦点，
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在数列 中， ，且 ，则 的值为（ ）
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
二、选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9. 已知等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ， ， ，则（ ）
A. B. C. 中 最大 D.
10. 已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 、 、 成等比数列
B. 若 为等差数列，则 为等差数列
C. 若 为等比数列，则 为等差数列
D. 若 ， ， ，则 为等比数列
11. 已知 为坐标原点，抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 的准线为 ，点 在抛物线 上，直线
过点 且与 交于 ， 两点，则（ ）
A. 若点 的坐标为 ，则 的最小值为 3
B. 以线段 为直径的圆与直线 相离
C. 点 到直线 的最小距离为
D. 可能为钝角三角形
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
第 2页/共 4页12. 已知 ，设直线 ， ，若 ，则 ______．
13. 已知点 在抛物线 上，且到 焦点的距离为 ，则实数
__________.
14. 已知各项均不为零的数列 ，其前 项和是 ，且 ．若 为递增数列，
，则 的取值范围是______．
四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
.
15. （1）等比数列 中， ， ，求数列 的通项公式；
（2）等差数列 中，公差 ，且满足 ， ，求数列 通项公式.
16. 在圆 上任取一点 ，过点 作 x 轴的垂线段 为垂足，当点 在圆上运动时，记线段
的中点 的轨迹为 .
（1）求 的方程.
（2）直线 与 C 交于 两点（点 不重合）.
①求 的取值范围；
②若 ，求 .
17. 如图，在正四棱锥 中， ， 为侧棱 SD 的中点．
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 PAC 的距离；
（3）求平面 SBC 与平面 PAC 夹角的余弦值．
18. 已知数列 满足 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
第 3页/共 4页（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ；
（3）令 ，求数列 的前 项和 .
19. 已知过点 双曲线 的渐近线方程为 .如图所示，过双曲线 的右焦点 作与坐
标轴都不垂直的直线 交 的右支于 两点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上的点 到其两条渐近线的距离分别为 ，求 的值；
（3）已知点 ，求证： .
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