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2023 级高二下学期 3 月阶段考
数学（人教 A 版）试题 D
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．请
在答题卡上作答．
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一
项符合题目要求．
1. （ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 24
2. 若椭圆 C： 的焦点和顶点分别是双曲线 E 的顶点和焦点，则双曲线 E 的标准方程为（
）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A B. C. D.
4. “点 在圆 外”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 编号为 1，2，3，4，5，6，7 七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开
灯方案有（ ）
A. 10 种 B. 12 种 C. 15 种 D. 18 种
6. 已知点 的坐标为 ，动点 满足 ， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 是椭圆 上两点， 分别为 左、右焦点，
，则 的离心率为（ ）
第 1页/共 5页A. B. C. D.
8. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有 1 个白球，乙袋子里有 5 个白球和 5 个黑球，现从乙袋子里随
机取出 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为 ，
则当 变大时（ ）
A. 变小 B. 先变小再变大
C. 变大 D. 先变大再变小
二、选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．
9. 已知 的展开式中第 4 项与第 5 项的二项式系数相等，则（ ）
A. B. 所有项的系数和为 1
C. 没有常数项 D. 的系数为 14
10. 如图，某电子实验猫线路图上有 A，B 两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，
继续前行，A，B 两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为 ， ．同学甲从第一次
实验到第五次实验中，实验猫在 A 处遇到红灯的次数为 X．同一次试验中在 A，B 两处遇到红灯的次数之和
为 Y，则（ ）
A.
B. 一次实验中，A，B 两处至少遇到一次红灯的概率为
C.
D. 当 时，
11. 已知 为坐标原点，抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 的准线为 ，点 在抛物线 上，直线
第 2页/共 5页过点 且与 交于 ， 两点，则（ ）
A. 若点 的坐标为 ，则 的最小值为 3
B. 以线段 为直径的圆与直线 相离
C. 点 到直线 的最小距离为
D. 可能为钝角三角形
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，设直线 ， ，若 ，则 ______．
13. 已知点 在抛物线 上，且到 的焦点的距离为 ，则实数
__________.
14. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着 10 排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当
的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向
左下落的概率为 ，向右下落的概率为 ，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为 0，1，2，…，
10，则小球落入_________号格子的概率最大.
四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤．
15. 一场小型晚会有 个唱歌节目和 个相声节目，要求排出一个节目单．
（1） 个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2） 个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（4）前 个节目中要有相声节目，有多少种排法？
第 3页/共 5页（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
16. 某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务 项目有：60 米袋鼠跳、100 米、200 米、1500 米、3000
米、4×100 米接力．
（1）志愿者小明同学可以在 6 个项目中选择 3 个项目参加服务，求小明在选择 60 米袋鼠跳服务的条件下，
选择 3000 米服务的概率；
（2）为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了 15 名同学，其中有 9 名首选 100 米，6 名首
选 4×100 米接力．现从这 15 名同学中再选 3 名同学做进一步调查．将其中首选 4×100 米接力的人数记作 X
，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
17. 如图，在正四棱锥 中， ， 为侧棱 SD 的中点．
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 PAC 的距离；
（3）求平面 SBC 与平面 PAC 夹角的余弦值．
18. 已知过点 的双曲线 的渐近线方程为 .如图所示，过双曲线 的右焦点 作与坐
标轴都不垂直的直线 交 的右支于 两点.
（1）求双曲线 标准方程；
（2）若双曲线 上的点 到其两条渐近线的距离分别为 ，求 的值；
（3）已知点 ，求证： .
19. 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大
第 4页/共 5页致分为三个环节，简记为工序 ，工序 ，工序 ．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为 ，
， ．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费 30 元，成功通过三道工序最终的奖励金额是 200 元，
为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若
某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，
需另付聘请费用 100 元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用．
（1）求小李独立成功完成三道工序的概率；
（2）若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率；
（3）为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由．
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