宝鸡中学2023级高二第一学期阶段考试（一）参考答案-数学_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年10月试卷_1024陕西省宝鸡中学2024-2025学年高二上学期10月月考

宝鸡中学 2023 级高二第一学期阶段考试（一） 数学参考答案 一、单选题：1.C 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C 二、多选题：9.BD 10.ABC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 6 5 12.－ 13. 14. 6 5 1 (0,2] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤。 15. 解： 设点 ,因为 ,所以直线 的斜率 (1) ( , ) (− 5,0) = + 5( ≠− ， 同理,直线 的斜率 由5已) 知,有 = − 5( ≠ 5). 1 + 5× − 5 =−5( ≠± 5) 化简,得点 的轨迹方程为 2 2 5 + =1( ≠± 5). 点 的轨迹是除去 , 两点的椭圆. (− 5,0) ( 5,0) 设 ，则 ， 02 2 所(2)以 ( 0, 0) 5 + 0 =1 ， 2 2 2 2 2 所以| | = 0 +( 0−1) =5−5 0 +( 0−1，) 2 2 1 2 25 因为| | =−4 ，0 −2 0+6=−4( 0+4) + 4 所以−1< 0 <时，1 最大为 ， 1 2 25 0 =−4 | | 4 所以线段 长的最大值为 ． 5 2 {#{QQABLQQEogioQJJAAQgCAwVYCAMQkBCAASgGBBAAMAIAiBFABCA=}#}16.解：(1)根据正弦定理，条件即为sinAcosC+ sinAcosC=sinB+sinC， 也即sinAcosC+ sinAcosC=sin(A+C)+sinC， 3 所以sinAcosC+ 3 sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC， 3 整理得 sinA-cosA=1，即sin(A-30°)= ，所以A-30°=30°，即A=60°. 1 3 2 (2) 由A=60°，S= bcsinA= ，得bc=4.由余弦定理，得 1 = + -2bccosA2= -23bc-2bccosA，所以b+c=4. 又2 bc2=4，2 所以b=c=2. 2 ( + ) 17. 解：设第一次抽取的人记为 ,第二次抽取的人记为 ,则可用数组 表示 样本点. 1 2 1, 2 (1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间 , Ω1 = B1,B1 , B1,B2 , B1,G1 , B1,G2 , B, 2,B1 , B2,B2 , B2 1 , 2 ., 2 , 不 放 1, 回 1 简, 单 1 随, 机 2 抽, 样 1,的 1 样,本 空 1,间 2 , 2, 1 G2,B2 , G2,G1 , G2,G2 , . Ω2 = 1, 2 , 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 1 , 2, 2 , 1, 1 , 1, 2 按 性 1, 别 2 等, 比 2 例, 分 1 层, 抽 2,样 2 ,先, 从 2 男, 生 1 中抽一人,再从女生中抽一人,其样本空间 (2设事件 “抽到两Ω3名=男生B1 ”,G, 1 则, B1,G2 , B2,G1 , B2,G2 . 对于有放回 简=单随机抽样, 因为抽中样本空间 中每一 个=样本B1 点,B的 1 可, B能 1,性B2 都,相B等 2,B, 1 所,以B这 2,是B2 一.个古典概型.因 此 . Ω1 4 对于 ( 不 ) 放 = 回16简 = 单 0 随 .25 机抽样, 因为抽中样本空间 中每一 个=样本 1 点, 的 2 可, 能 2,性 都 1 相. 等,所以这是一个古典概型.因 此 Ω2 2 1 因为 ( 按 ) 性 = 别12等 = 比6例 ≈ 分 0.1 层 6 抽 7. 样,不可能抽到两名男生,所以 ,因此 . = ∅ ( )=0 {#{QQABLQQEogioQJJAAQgCAwVYCAMQkBCAASgGBBAAMAIAiBFABCA=}#}18．解（1）因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD， 且CD AD，CD平面ABCD，可得CD平面PAD， 因为PA平面PAD，所以CDPA. （2）取AD中点O，连接OP,OB， 因为PA PD，则POAD， 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD，PO平面PAD， 可得PO平面ABCD， 由OA,OB平面ABCD，可得POOA,POOB， 因为CD AD,BC//AD,AD2BC，则BC//OD,BC OD， 可知四边形OBCD是平行四边形，则OB AD， 如图，以O为坐标原点，OA,OB,OP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),P(0,0,1).    可得AP1,0,1,PB 0,2,1,CB 1,0,0 ，     nAPxz0 设平面APB的法向量为nx,y,z，则  ， nPB2yz0  令y1，则xz2，可得n2,1,2；     mCBa0 设平面PBC的法向量为ma,b,c，则  ， mPB2bc0  令b1，则a0,c2，可得m0,1,2；     nm 5 5 则cosn,m     ， n  m 3 5 3 5 所以平面APB与平面PBC夹角的余弦值为 . 3   （3）设PM PB0,2,, 0,1 ，     且DP1,0,1，则DM  DPPM 1,2,1，   1 2 1 若DM 平面PAB，则 DM ∥n，可得   ，方程无解， 2 1 2 所以不存在点M ，使得DM 平面PAB. {#{QQABLQQEogioQJJAAQgCAwVYCAMQkBCAASgGBBAAMAIAiBFABCA=}#}19. 解： 设S ，动点Q ， 由中点的(坐1)标公(式 ,解 )得 ( ，0, 0) ， +6 由 4，得 0 = 2 0 =2 ， 点S的轨2迹方程2 是 2 2 ． ( 0−2) + = ( +2) + =16 设 则 2 2 ， ∴ ( +2) + =16 2 (2) = (， >2). = = −4 ， 2 2 8 2 sin∠ = cos∠ =1−2sin ∠ =1− 所以： → → 2 8 · =| |⋅| |cos∠ =( −4)(1− 2 ) ， 2 2 ( −4)( −8) 2 32 2 2 = = + −12≥2 32−12=8 2−12 当且仅当 ，即 时，等号成立， 5 2 32 4 2 = =2 所以 最小值为 ． → → · 8 2−12 联立方程组 得 ， = +3, 2 2 (3) 2 2 (1+ ) +(6 −4) +9=0 ( −2) + =4, 设 ， ，则 6 −4 1+ 2 =−1+ 2 , ( 1, 1) ( 2, 2) 9 1⋅ 2 =1+ 2 , ， 1 2 1+3 2+3 3( 1+ 2) 3(4−6 ) 4 ∴ 1+ 2 = 1+ 2 = 1 + 2 =2 + 1⋅ 2 =2 + 9 =3 故 的值为定值，且定值为 ． 4 1+ 2 3 {#{QQABLQQEogioQJJAAQgCAwVYCAMQkBCAASgGBBAAMAIAiBFABCA=}#}