文档内容
高二数学试题
2024.11
主考学校：平原一中
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150
分，测试时间120分钟.
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.）
1. 已知直线l的方程为 ，则l的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】由直线方程计算直线斜率，由斜率得到倾斜角.
【详解】由题意得，直线斜率为 ，
即 ，又 ，则 .
故直线的倾斜角为 .
故选：A.
2. 已知直线 与直线 平行，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行公式计算 的值，代入验证排除直线重合的情况即可得到结果.【详解】由两直线平行得： ，解得 或 .
当 时， ， ，两直线重合，不合题意.
当 时， ，即 ， ，两直线平行，符合题意.
故 的值为 .
故选：A.
3. 已知双曲线 ，若点 到 的渐近线距离为 ，则双曲线 的离心
率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出 的值，即可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
因为点 到 的渐近线距离为 ，即 ，解得 ，
因此，该双曲线的离心率为 .
故选：B.
4. 在四面体 中，点D为 的中点，点E在 上，且 ，用向量 ， ，
表示 ，则 （ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.
【详解】
如图，由题意得，
.
故选：D.
5. 已知圆 不经过坐标原点，且与圆 相切，则 的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆相切以及 不过原点先求解出 的关系式，然后结合基本不等
式求解出最大值.
【详解】因为 与 相切，
所以 或 ，所以 或 ，
因为 不经过原点，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，
故选：C.
6. 已知菱形 的边长为2， ，现将 沿 折起，当 时，二面角
平面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，由菱形的性质得出 就是二面角 的平面角，求出 的
边长可得答案.
【详解】设 ，菱形 满足 ， ，
则 和 都为等边三角形，所以 ， ，又 ，则 ，所以 就是二面角 的平面角，
由于 ，所以 ，所以 是等边三角形，
的
所以 ，即二面角 平面角 大小为 .
故选：B.
7. 已知椭圆 上存在两点 、 关于直线 对称.若椭圆离心率为
，则 的中点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点M(x ,y )、N(x ,y )，线段 的中点为 ，由已知条件可得出 ，利用点
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差法以及点 在直线 上，可得出关于 、 的值，解出这两个量的值，即可得出线段
的中点坐标.
【详解】设点M(x ,y )、N(x ,y )，线段 的中点为 ，则 ，
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由题意，椭圆的离心率为 ，可得 ，
因为 、 关于直线 对称，且直线 的斜率为 ，
则 ，将点 、 的坐标代入椭圆方程可得 ，
上述两个等式作差可得 ，
可得 ，即 ，即 ，
即 ，①
又因为点 在直线 上，则 ，②
联立①②可得 ，故线段 的中点为 .
.
故选：C
8. 已知四棱锥 的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O的球面上，满足 ，
， ，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边
形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表
面积公式求出表面积即可.
【详解】因为四棱锥 的各侧棱与底面所成的角都相等，
所以顶点 在底面 的射影 是底面四边形 外接圆的圆心.
因为 ，所以△ 为等腰三角形. 因为 ，所以 ，
故△ 为等边三角形，则 .设底面四边形 外接圆半径为 ，则根据正弦定理得 ，即 ，解得 .
设线段 的中点 , 则 ，
那么由勾股定理可知 ，所以 ，
故 是等边三角形 的中心，则 .
设球 的半径为 ，根据题意可知球心 在射线 上，
当球心 在线段 上时，如图1所示， 则 ，即 ，
解得 ，此时 ，不符合题意舍去.
当球心 在射线 上且在平面 的下方时，如图2所示， ，
即 ，解得 ，此时 符合题意，
故球 的半径 ，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为 .
故选：B.
【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球
体球心的位置确定球体的半径.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知空间中四点 ， ， ， ，则（ ）
A. B.C. 在 上的投影数量为 D. 为锐角
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：表示出 的坐标，利用模长公式计算；B：表示出 的坐标，然后根据数量积判断是
否垂直；C：计算出 ，根据 可计算出投影数量；D：根据 的正负并结合是
否共线作判断.
【详解】A：因为 ，所以 ，故错误；
B：因为 ，所以 ，所以 ，故正确；
C：因为 ，所以 ， ，
所以 在 上的投影数量为 ，故正确；
D：因为 ，所以 ，
由坐标可知 不共线，所以 为锐角，故正确；
故选：BCD.
10. 已知直线 ，圆 ， 为圆 上任意一点，则（ ）
A. 直线 过定点
B. 若圆 关于直线l对称，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为3
【答案】BC【解析】
【分析】A：将直线方程化为 ，根据 可确定出定点坐标；B：考虑直线经过圆
心的情况；C：根据 的几何意义，考虑 与圆相切；D：根据 的几何意义，先计算 ，
然后可求结果.
【详解】 化为标准方程为 ，圆心为(2,0)，半径为 ；
A：因为 ，令 ，可得 ，所以 过定点 ，故
错误；
B：若圆 关于 对称，则 过圆心(2,0)，所以 ，解得 ，故正确；
C： 表示 连线的斜率，设 ，即 ，如下图，
当 与 相切时，此时 取最值，
所以 ，解得 ，所以 的最大值为 ，即 的最大值为 ，故正确；
D： 表示 ，因为 ，所以 ，故错误；
故选：BC.
11. 在直三棱柱 中， ， ， ， ，点M为线段 的中点，N为线段 上的动点，则（ ）
A.
B. 存在点N使得 垂直于平面
C. 若 平面 ，则
D. 直线 与平面 所成角的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断即可.
【详解】如图，以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
对于A，因为 ，
所以 ，
则 ，即 ，故A正确；
对于B，由A知， ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
则 ，无解，
所以不存在点N使得 垂直于平面 ，故B错误；
对于C，由B知，设 ，可得 ，又 ，
设平面 的一个法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
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则 ，令 ，得 ，
因为 平面 ，所以 ，
则 ，解得 ，此时 ，故C正确；
对于D，由B知，设 ，可得 ，
所以 ，易知平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以当 时， 取得最大值 ，
即直线 与平面 所成角的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 的三个顶点 ， ， ，则 边上的高为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线 的方程，再利用点到直线的距离公式即可.
【详解】 ，则直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离为 ，
则 边上的高为 .
故答案为： .
13. 在三棱锥 中，已知 ， ，点P到 ， 的距离均为 ，
那么点P到平面 的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】如图，取BC中点为D，连接PD，AD，过P作AD垂线，垂足为G，可证PG与平面 垂直
及D和G重合，即可得答案.
【详解】过P作AC，AB垂线，垂足为E，F，由题，则 .
又 ，则 ，又 ， ，则 .
则 ，又由勾股定理，可得 .
取BC中点为D，连接PD，AD.由以上分析可知 .
因 平面PAD，则 平面PAD.
过P作AD垂线，垂足为G，则 ，又 平面PAD，则 .
因 平面ABC，则 平面ABC，
即PG为P到平面 的距离.
在 中，因 ， ，则 .
又在 中， ，则 ；
又 ，则 为以D为直角顶点的直角三角形，则
即D和G重合，则 .
故答案为：
14. 已知直线 与抛物线 交于 、 两点，且 （ 为坐标原点），则 ________； 的面积为________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设点A(x ,y )、B(x ,y )，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可
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得出 ，结合韦达定理可求得 的值，然后利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】设点A(x ,y )、B(x ,y )，联立 可得 ，
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，由韦达定理可得 ， ，
所以， ，解得 ，
所以， ， ，则 ，
直线 交 轴于点 ，
所以， .
故答案为： ； .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在平面直角坐标系 中，已知圆C过点 ， ，且圆关于x轴对称.
（1）求圆C的标准方程；（2）已知直线l经过点 ，与圆C交于A，B两点，若 ，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C的标准方程；
（2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程.
【小问1详解】
由圆关于x轴对称可知圆心在x轴上，
设圆心 ，半径为 ；
即可得 ，解得 ，半径 ，
所以圆C的标准方程为
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，直线方程为 ，显然不合题意；
当直线l的斜率存在时，设方程为 ；
易知圆心到直线 的距离
又 可解得 或 ，
即直线l的方程为 或 .
16. 已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上，且 .
（1）求抛物线的方程及 ；
（2）斜率为 的直线 与抛物线的交点为 、 （ 在第一象限内），与 轴的交点为 （ 、 不重合），若 ，求 的周长.
【答案】（1）抛物线方程为 ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义结合 可求得 的值，可得出抛物线的方程，再将点 的坐标代入
抛物线方程，即可求得 的值；
（2）设点 ，则 ，可得直线 的方程为 ，设点A(x ,y )、B(x ,y )，则 ，
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由平面向量的坐标运算可得出 ，将直线 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出 、
、 的值，进而可求得 的周长.
【小问1详解】
抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线的定义可得 ，可得 ，
所以，抛物线的方程为 ，
将点 的坐标代入抛物线方程可得 ，解得 .
【小问2详解】
设点 ，则 ，因为直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
设点A(x ,y )、B(x ,y )，则 ，
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由 ，可得 ，则 ，可得 ，联立 ，可得 ， ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，可得 ， ，
所以， ，可得 ，
所以， ，
，
所以， 的周长为 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形， ， ， .（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明 平面 即可证得；
.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可
【小问1详解】
在 中，由余弦定理得 ，解得 ，
所以 ，故 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
【小问2详解】
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
故 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
x2 y2
18. 已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)过点(2,3)，一条渐近线方程为 .
a2 b2
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若点 为双曲线右支上一点， ，求 的最小值；
（3）过点 的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，求证： 为定值.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案；
（2）设 ，表示出 ，结合二次函数性质，讨论即可得答案；
（3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出
的表达式，化简即可证明结论.
【小问1详解】
x2 y2
由题意知双曲线C: − =1(a>0,b>0)过点(2,3)，一条渐近线方程为 ，
a2 b2
则 ，解得 ，
故双曲线 的标准方程为 ；
【小问2详解】
点 为双曲线右支上一点，设 ， ，
则
，
当 ，即 时， 最小值为 ，
当 ，即 时， 最小值为 ；
【小问3详解】
当过点 的直线斜率不存在时，方程为 ，此时不妨取 ,则 ；
当当过点 的直线斜率存在时，设直线方程为 ，
不妨令 ，
联立 ，得 ，
由于直线过双曲线的右焦点，必有 ，
直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，需满足 或 ，
则 ，
则，
综合以上可知 为定值.
【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明
定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心.
19. 已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为 ， ，椭圆上一点到焦点的最小距离为 ，
直线 与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方），当 过 时，
的周长为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）将平面 沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面 ）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面 ）垂直.
①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线 与平面 所成角的正弦值；
②求三棱锥 体积的最大值.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由题意列出方程组，解得 的值，直接写出椭圆方程；
（2）①求出平面中 坐标，再建立空间直角坐标系得到 坐标，利用空间向量求得线面角的正弦
值；②在平面内求出 坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到 坐标，从而列出三棱锥的体积的
表达式，利用二次函数求得最大值.
【小问1详解】
由题意可得 ，解得 ，∴ ，
∴椭圆的标准方程为： ，
【小问2详解】
翻折后，如图：①当B为椭圆的下顶点时，由题意知 ，直线 ，
联立方程组可得 ，解得 或 ，∴
令原来 轴负半轴为 轴，则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设⃗n=(a,b,c)为平面 的一个法向量，则 ，
令 ，所以 ，即 ，
的
设直线 与平面 夹角为 ，
则 ，
②联立方程组 ，整理得 ，
，∴ ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2，
， ，
∴ ，
令函数 ，
由二次函数的对称轴： ，∴ ，
所以当 时， 的体积最大，此时 .
【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角
坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案.
