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数学试题
2024.10.06
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作
答无效.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 设集合 ，若 ，则实数m=（ ）
A. 0 B. C. 0或 D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论 和 两种情况，求解 并检验集合的互
异性，可得到答案.
【详解】设集合 ，若 ，
， 或 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
所以 或 .
故选：C
2. 记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 等 差 数 列 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 ． 本 题 还 可 用 排 除 ， 对 B ， ，，排除B，对C， ，排除C．对
D， ，排除D，故选A．
【详解】由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数
列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
3. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.
【详解】由条件可知， ， ， ，
所以 .
故选：B
4. 设 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数除法法则计算出 ，求出模长.【详解】 ，故 .
故选：D
5. 下列函数中，既是偶函数又是区间 上的增函数的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．
【详解】选项A， 是非奇非偶函数，是区间 上的增函数，错误；
选项B， 是偶函数，是区间 上的减函数，错误；
选项C， 是偶函数，是区间 上的增函数，正确；
选项D， 是奇函数，是区间 上的增函数，错误；
故选：C
6. 已知向量 ， ， ，若 则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量坐标的运算求出向量 的坐标，再根据 ，利用向量夹角余弦公式列方程，
求出实数 的值．
【详解】由 ， ，则 ，又 ，则 ，
则 ，即 ，
，解得 ，
故选：C.
7. 函数 ，则（ ）
A. 若 ，则 为奇函数 B. 若 ，则 为偶函数
C. 若 ，则 为偶函数 D. 若 ，则 为奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据选项中 的关系，代入 的解析式，对AD用特值说明 不是奇函数，对BC用奇
偶性的定义验证即可.
【详解】 的定义域为 ，
对A：若 ， ，若 为奇函数，则 ，而
不恒成立，故 不是奇函数；
对B：若 ， ，
，故 为偶函数，B正确；
对C：若 ， ，，故 不是偶函数，故C错误；
对D：若 ， ，
若 为奇函数，则 ，而 不恒成立，故 不是奇函数；
故选：B
8. 已知函数 ，若对任意的 有 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的定义证明 为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得
的取值范围.
【详解】当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
当 时， ，
所以对任意的 ， ，
函数 为奇函数，
又当 时， 为单调递减函数，
所以函数 在 上为单调递减函数，
所以不等式 可化为 ，
所以 ，所以 ，由已知对任意的 有 恒成立，
所以 ，即 ，
故 的取值范围是 .
故选：A.
9. 已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足
，则 的最小值是
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定向量 、 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最
小值.
【详解】设 ，
则由 得 ，
由 得
因此， 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为 选A.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的
一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关
系，是解决这类问题的一般方法.
10. 已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域为
则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性可知， ，即得 ，故可知 是
方程 的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知， ，
即可得到 ，
的
即可知 是方程 两个不同非负实根，
所以 ，
解得 ．
故选：D．
【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知角α的终边与单位圆交于点 ，则 __________.
【答案】 ##0.5
【解析】【分析】由三角函数定义得到 ，再由诱导公式求出答案.
【详解】由三角函数定义得 ，由诱导公式得 .
故答案为：
12. 记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题中所给的 ，类比着写出 ，两式相减，整理得到 ，
从而确定出数列 为等比数列，再令 ，结合 的关系，求得 ，之后应用等比数列的求
和公式求得 的值.
【详解】根据 ，可得 ，
两式相减得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
所以数列 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个
式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 ，求得数
列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结
果.13. 若命题“对任意 为假命题的a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】写出全称量词命题的否定， 为真命题，分 ， 和 三种情
况，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得 为真命题，
当 时，不等式为 ，有解，满足要求，
当 时，若 ，此时 必有解，满足要求，
若 ，则 ，解得 ，
综上，a的取值范围为 .
故答案为：
14. 若函数 的最大值为 ，则 ________， 的一个对称中心为
_______
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据辅助角公式对函数 进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中
心.
【详解】由 ，其中 ，
又函数 的最大值为 ，则 ，
又 ，则 ， ，不妨取 ，故 ，
则 的对称中心满足 ， ，解得 ， ，
即 的对称中心为 ， ，
则 的一个对称中心可为： ，
故答案为： ， （答案不唯一）
15. 对于函数 ，若在其定义域内存在 ，使得 成立，则称函数 具有性质 .
（1）下列函数中具有性质 的有___________.
①
②
③ ，（x∈(0,+∞)）
④
（2）若函数 具有性质 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 ①. ①②④ ②. 或 ．
【解析】
【分析】（1）令 ，由 ，可判断；由sinx= 有解，可判断是否具有性质P；令
= ，此方程无解，由此可判断；由 两图象在 有交点可判断；（2）问题转化为方程 有根，令 ，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单
调性及最值，由此可求得实数 的取值范围．
【详解】解：（1）在 时， 有解，即函数具有性质P，
令 ，即 ，
∵ ，故方程有一个非0实根，故 具有性质P；
的图象与 有交点，
故sinx= 有解，故 具有性质P；
令 = ，此方程无解，故 ，（x∈(0,+∞)）不具有性质P；
令 ，则由 两图象在 有交点，所以 有根，所以
具有性质P；
综上所述，具有性质P的函数有：①②④；
（2） 具有性质P，显然 ，方程 有根，
令 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，当 时， ，所以 在
上单调递增，所以 ，
所以 的值域[ ，+∞），∴ ，
解之可得： 或 ．
故答案为：①②④； 或 ．
【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程
的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， ， ．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使 存在且唯一确定，并解决下面的问题：
（1）求角 的大小；
（2）求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
【答案】（1）选②或③， ；
（2） 的面积为 .
【解析】
【分析】（1）选①，利用三边关系可判断 不存在；
选②：利用余弦定理可求得角 的值；
选③：利用正弦定理可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用余弦定理可求得 的值，再利用三角形的面积公式可求得 的面积．
【小问1详解】
解：因为 ， ，则 .选①：因为 ，则 ，则 不存在；
选②：因为 ，则 ，
由余弦定理可得 ， ，则 ；
选③： ，则 ，
、 ，则 ， ，故 ，从而 .
【小问2详解】
解：因为 ， ， ，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，因此， .
17. 已知 是等差数列{a }的前 项和， ，数列{b }是公比大于1的等比数列，且 ，
n n
.
（1）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
（2）设 ，求使 取得最大值时 的值.
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项及前 项和公式求出首项与公差，即可求出数列{a }的通项公式，再求
n
出数列{b }的首项与公比，即可得{b }的通项公式；
n n（2）先求出 的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.
【小问1详解】
设等差数列{a }的公差为 ，
n
则 ，解得 ，
所以 ，
设等比数列{b }的公比为 ，
n
则 ，解得 ，
所以 ；
【小问2详解】
由（1）得 ，
则 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 或 时， 取得最大值.18. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数 在 存在零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数 ，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据题意转化为方程 在 上有解，以 为整体，结合正弦函数图
象运算求解.
【小问1详解】
对于函数
，
所以函数 的最小正周期为 ，
令 ，则 ，
∴函数 的单调递增区间为 .【小问2详解】
令 ，即 ，则 ，
∵ 在 存在零点，则方程 在 上有解，
若 时，则 ，可得 ，
∴ ，得
故实数 的取值范围是 ．
19. 1.已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：函数 在区间 上有且仅有一个零点.
【答案】（1）当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 .
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）求出导数，然后通过对 分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一
问的结果，判断出函数在 上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明
【小问1详解】
，当 时， ，由 得： ，
由 ，得： ，故此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
1
当 时，令 得：x=− <0或
a
由 得： ，此时
由 得： 或 ，此时
故此时 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为
综上：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 .
【小问2详解】
由（1）可知，当 时， 的单调递增区间为 ，而 ，所以 在
上单调递增，又 ，
所以 ，由零点存在性定理可得：：函数 在区间 上有且仅有一个零点
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 在区间 上的最大值；
（3）设实数 使得 对 恒成立，写出 的最大整数值，并说明理由.【答案】（1）
（2）
（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间 上的单调性，求出最值即可；
（3）将不等式等价转化为 在 上恒成立.构造函数 ，利用导数求出函
数的单调性和最小值，进而得证.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，则 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问2详解】
令 ，
则 ，当 时， ， 在 上单调递增.
因为 ， ，
所以 ，使得 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又 ， ，所以 .
【小问3详解】
满足条件的 的最大整数值为 .
理由如下：
不等式 恒成立等价于 恒成立.
令 ，
当 时， ，所以 恒成立.
当 时，令 ， ， ，
与 的情况如下：
1
所以 ，当 趋近正无穷大时， ，且 无限趋近于0，
所以 的值域为 ，
因为 ，所以 的最小值小于 且大于 .
所以 的最大整数值为 .
21. 已知数列{a }记集合
n（1）对于数列{a }： ，列出集合 的所有元素；
n
（2）若 是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，
说明理由；
（3）若 把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 若 ，
求 的最大值.
【答案】（1） ；
（2）不存在，理由见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据题目给出的集合 的定义求解即可；
（2）假设存在 ，使得 ，则有
，则 与 奇偶性相同，所以
与 奇偶性不同，进行分析即可得解；
（3）由 ，根据题意给出的集合 新定义可对
进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．
【小问1详解】
由题意可得 ， ， ，
所以 .
【小问2详解】
假设存在 ，使得 ，则有 ，
由于 与 奇偶性相同，所以 与 奇偶性不同，
又因为 ，所以 必有大于等于 的奇数因子，
这与 无 以外的奇数因子矛盾.
故不存在 ，使得 成立.
【
小问3详解】
由题意得 ，
当 ， 时， ，
除 ， 外 ， ，
其中 与 一奇一偶，则 能拆成奇数与偶数之乘积，
在正偶数中，只有 无法拆成一个大于 的奇数与一个不小于 的偶数之乘积，
又 中的元素均为偶数，故 ，
故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，
，
故 的最大值为 ．
【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和
转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者
函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
