文档内容
2024—2025 学年度第一学期高二教学质量检测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上.
2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一.单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 从标有 1，2，3，4，5 的五张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之和是 6 的概率为（
）
A. B. C. D.
2. 已知直线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，直线 的倾斜角为
B. 当 时，
C. 若 ，则
D. 直线 的纵截距为 a
3. 设 ，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
4. 若点 为直线 上任意一点，过点 总能作圆 的切线，则 的最小值为（
）
A. B. C. -2 D.
5. 我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱
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学科网（北京）股份有限公司锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若
，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
6. 如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点
到平面 的距离为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知 、 分别是椭圆 的左右顶点， 是椭圆上异于 、 的任意一点，直线
与 斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 正方体 的棱长为 3，点 在棱 上，且 ，点 是正方体下底面
内.(含边界)的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点 的距离的平方差为 9，则
的最大值是（ ）
A 2 B. C. D.
二. 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多
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学科网（北京）股份有限公司项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有
选错的得 0 分.
9. 已知随机事件 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若事件 与事件 相互独立，则
B. 是事件 与事件 互为对立事件的充要条件
C. 若事件 与事件 互斥， ，则
D. 若事件 与事件 相互独立， 则
10. 已知点 ，点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 ，则下列说
法正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 上存在点 ，使得
C. 在 上不存在点 ，使得
D. 上的点到直线 的最小距离
11. 已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，曲线 关于 对称
B. 当 时， 的最大值为 2
C. 当 时，若点 是曲线 上任意一点，则
D. 当 时，曲线 上的点 到原点距离的最小值为
三. 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分. 共 15 分.
12. 在正方体 中，点 分别在棱 上，且 ，
，则异面直线 与 所成角的正弦值为_____.
13. 已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 的取值范围为_____.
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知点 、 为椭圆 的左、右焦点，点 为该椭圆上一点， 且满足
，若 的外接圆面积是其内切圆面积的 倍，则该椭圆的离心率为_____.
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
15. 在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三
人是否通过测试互不影响， 求:
（1）只有 2 人通过体能测试的概率；
（2）至少有 1 人通过体能测试的概率.
16. 已知动点 到直线 距离与到点 距离相等，设动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的直线 交 于 两点，且 ( 为坐标原点)的面积为 32， 求 的方程.
17. 已知圆 与圆 ， 直线
（1）判断 与圆 的位置关系并证明；
（2）过动点 分别作两圆 切线 ( 分别为切点)，若 ，求
的最小值.
18. 如图，四棱锥 ，平面 平面 ， ， ， ，
， ， ， .
（1）证明:
（2）求直线 与平面 所成角 正弦值；
（3）若点 是平面 内的动点，且 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19. 已知双曲线 的标准方程为 的左右顶点分别为 ，右焦点
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学科网（北京）股份有限公司，离心率 .
（1）求双曲线 的方程及其渐近线方程；
（2）过点 的直线 交双曲线 于 两点(点 在第一象限)，记直线 斜率为 ，
直线 斜率为，求 的值;
（3）过圆 上的点 作圆 的切线 ，交双曲线 于 ， 两点，点
为弦 的中点，证明:
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