2024级高二年级第一学期阶段考试数学科试卷_2025年10月高二试卷_251017广东省汕头市金山中学2025-2026学年高二上学期10月阶段考试（全）

2024 级高二年级第一学期阶段考试 数学科试卷 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．集合 ， ，则 （ ） 2 A． ={ | <1}B． ={ | −2 <0}C． ∩ = D． 2．若 { |0< <1} { |−1<在 <0} 上是{ 单|−调1函<数 ，<则2}的取值{ 范|0围<是 （<2}） 2 A． =−2 B −．2 +1 + C 3． −1,2 D． 3 9 3 9 9 3 3．已知复2,+ 数 ∞ 满足 −2,2 ，则 − 的 ∞ 虚 ,− 部2为（ ） −∞,−2 ∪ 2,+∞ A．1 2 +B ．=3−i C． D． 4．已知 且 −1 ，则 的最大i 值为（ ） −i A．2 >0, >0 B 2． + 5 5 =10 C． D． 3 5 5．若 ，则 （ ） 2 2 2 A．tan =6 cos B ．+sin2 = C． D． 13 13 1 1 6．已知37 为空间内三 − 个3不7 共面的向量，平面4和平面 的法向量分别 − 为4 和 1, 2, 3 ，若 ，则 （ ） = 1+ 2+ 3 3A． 5=− 1+2 2+ B ．3 ∥ + C=．3 7．如图，将菱形纸片 − 沿 5 对角线 折成直二面角， 分别为 的中点， 是 的中点 ， ，则折 后, 2π 二面角 , 的余弦 值 为 （ ） ∠ = 3 − − A． B． C． D． 21 21 3 13 3 11 7 − 7 13 − 11 试卷第1页，共4页8．19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制 随机数据中，以数 开头的数出现的概率 满足 ，如斐波那契 ∗ 10 数、阶乘数、素数等 都 比 ∈ 较 符合该定律.后来常有数 学 爱好者用 1− 此 定 律来 = 检 lg 验 +某1 些经济数据、 选举数据等大数据的真实性.若 ，则 的最大值为（ ） log23×log35 ∗ =1 ≤ 1+log25 ∈ A．6 B．5 C．4 D．3 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分． 9．下列命题中正确的是（ ） A．若 是空间任意四点，则有 B．若直 线, ,的 ,方 向向量与平面 的法向量 的+夹 角 为+ +， 直 线=与0平面 所成的角等于 C．已知 是空间的一个 基底，则 130° 也是空 间的一个基底 50° D．已知 为 , 坐, 标原点，向量 + ，, + , + + ， ， 则点 不能构成三角形 =− +2 − =−3 +6 −3 =−2 +4 −2 10．若函 数, , 的图象与函数 的图象交点的横坐标所在的区间为 1 ， 则 的 = 可 2 能 e 取值为（ ） = +5 , A+．1 B． C．1 D．2 11.已知 − 正 2 方体 −1 棱长为1，P是 上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A．当点P 在 直 线 − 1 上1 运1 动1时，一定有 1 B．当点P在直线 1 上运动时，三棱锥 1 ⊥ 的1 体积不变 1 1− C． 的最小值为 + 2− 2 D．以点B为球心， 为半径的球面与平面 的交线长为 2 6 三．填空题：本题共3小2题，每小题5分，共1 5 分1 ． 3 π 12．某地区采用分层抽样的方法，抽取一定数量的高中学生参加禁毒知识竞赛．若得到的 样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且该地区高一、高三学生数之比 为 ，则样本容量为 ． 13．2:过3 、 两点的直线的倾斜角为 ，那么实数 . −1, +1,4 45° = 试卷第2页，共4页14．如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个 铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水 面均相切，此时容器中水的体积为 . 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15．本小题满分13分 如图，在平行六面体 中，以顶点A为端 点的三条棱长度都为 1 ， 且 −两 两1夹 1角 1为 1 ．记 ， ， ． 60° = (1 )求= 的 长1；= (2)求 1与 夹角的余弦值． 1 16．本小题满分15分 某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为 ． (1)求x的值； 0.19 (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知 ， 求九年级中女生比男生少的概率． ≥245 ≥245 试卷第3页，共4页17．本小题满分15分 已知 ， ，函数 . 2 （1） 当=( 3cos 时 ,s，in求 ) 的=值(1域,co；s ) ( )= ⋅ ∈ 0,2 ( ) （2）已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，求 的面 △ 积 . , , , , (2)= 3 =4 + =5 △ 18．本小题满分17分 如图，在三棱锥 中， 底面 . 点D，E，N分别 −为 棱 ⊥的中点 ， M,∠ 是 线 段=90° 的中点， ， , , . （1）求证 ： = =平面8 ；=4 （2）求二面角 // 的正弦值； （3）已知点H 在−棱 上−， 且直线 与直线 所成角 的余弦值为 ，求线段 的长. 7 21 19．本小题满分17分 函数 ，关于 的不等式 的解集为 . 2 （1） 求 =、 的−值 ； + <4 −1,3 （2）设 . = （i）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； 5 2 （ii）若函数 log3 −9 ⋅log3 +3≥0 ∈ 3,9 有三个不同的零 点，求实数 的 取值范围（ 为ℎ 自 然=对 数−的1底⋅数 ） . −1 −3 −1 +2 试卷第4页，共4页2024级高二年级第一学期数学阶段考试参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B D A B A C ACD BC ABD 二．填空题 12．460； 13．1； 14． 15.（1）由题意知： ， 72π ， ∴ = = =1 <， , >=< , >=< , >=60° 1 ⋅ = ⋅ = ⋅ =1×1×cos60°=2 又∵ ， 1= + 1+ 1 1=− + + ∴ ， 2 2 2 2 2 ∴ 1 = +， 即− 的=长 为+ ，+ +2 ⋅ −2 ⋅ −2 ⋅ =1+1+1−1=2 （2 ） ∵1 = 2 1 2， = + = + ∴ ，∴ ， 2 2 2 2 1 = + = +2 ⋅ + =1+2×2+1=3 = 3 ， 2 2 ∴ 1⋅ = + − ⋅ + = ⋅ +， ⋅即 − 与+ 夹+角 的⋅ 余−弦 值⋅ 为=1． 1⋅ 1 6 6 cos< 1, >= 1 = 2× 3= 6 1 6 16.【详解】（1）由题意 ， ． （2）九年级人数为 2000 =0.19 ∴ =380 ， + =2000−(373+377+380+370)=500 现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为 500 （名）． 2000×48= 12 （3）设九年级女生比男生少为事件 ，九年级女生数，男生数记为 ， 由（2）知 ， ， ． ( , ) 满足题意的 所+有 样=本50点0 是 ∈ (245,255),(246,254),(247,253),(248,25，2共),(12149个,2，51), (其25中0事,25件0),包(2含51的,24样9本),(点25是2,248),(253,247),(254,246),(255,245) 共5个， (245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251), ． 5 ∴ ( )= 11 试卷第5页，共4页17.【详解】（1）∵ ， ，函数 . 2 ∴ =( 3cos ,sin ) =(1,cos ) ( )= ⋅ 2 = 3cos +sin cos 3 1 π 3 = 2 1+cos2 +2sin2 =sin 2 +3 + 2 又 ， 得 ， ， π π π 4 3 π 0≤ ≤ 2 3 ≤2 +3 ≤3π − 2 ≤sin 2 +3 ≤1 . π 3 3 0≤sin 2 +3 + 2 ≤ 2 +1 即函数 在 上的值域为 ． π 3 = ∈ 0,2 0, 2 +1 （2） ， π 3 ∵ 2 = 3 ∴ sin +3 = 2 由 ，知 ， π π 4 ∈ 0,π 3 < +3 <3π 解得： ，所以 ， π 2 π 由余弦定 + 理3知 = ：3π = 3 ，即 ， 2 2 2 2 2 = ，因+ 为−2 cos ，所以16= ，+ − 2 ∴∴16= + −3 . + =5 =3 1 3 18. 【 △ 详 解 = 】（2 Ⅰ ） sin 如 图 = 所4示 3 建立空间直角坐标系. 证(明0,0：,0), (4,0,0), (0,8,0), (0,0,4),. 设(0,4,4), (0,0为,2)平, 面(2,4,0), 的法 向=量(，0,则4,0), =(4,0，,即−4) =( , .不, )妨设 ⋅ =0 4 =0 = ，可得 ，又 ， ⋅ =0 4 −4 =0 1可得 =(1,0.因,1)为 平 面=(2,4,，−2所)以 平 面 ，⋅ =0 ⊄ // （ Ⅱ） 解：易知 为平面 的一个法向量. 设 为 1 平 = 面 (1,0,0) 的法向量 ， 则 ， 2 ⋅ =0 2 =( , , ) 因为 ， ， 2 所⋅ 以 =0 . −4 −2 =0 =(0,−4,−2) =(4,0,−2) 4 −2 =0 试卷第6页，共4页不妨设 ，可得 ，因此有 ， 1⋅ 2 6 =2 2 =(1,−1,2) cos 1 , 2 = 1 2 = 6 于是 .所以，二面角 的正弦值为 ； 30 30 （Ⅲ）sin依 题1,意 2 ，=设 6 −， − 6 则 ，进而可 得=ℎ(0 ≤ℎ≤ 8) ， 由已 (知0,0，,ℎ得) =(−2,−4,ℎ) =(−，4,4,4) ⋅ 4ℎ−8 7 cos〈 , 〉 = = ℎ 2 +20×4 3= 21 整理得 ， 解得 ，或 . 2 16 5ℎ −21ℎ+16=0 ℎ= 5 ℎ=1 所以，线段 的长为 或1 16 19.【详解】（ Ⅰ）因为 5 的解集为 ， 2 即方程 <的4两⇒根 为−-1 和 +3， −4<0 −1,3 2 − + −4=0 由韦达定理可知 ，解得 . −1 +3= =2 （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可−1得×：3= −4 =1， 1 = = + −2 所以不等式 在 上恒成立， 5 2 log3 −9 ⋅log3 +3≥0 ∈ 3,9 等价于 在 上恒成立， 5 1 4 2 9 ≤ log3 −3log3 +1 ∈ 3,9 令 ，因为 ，所以 ， 1 1 =log3 ∈ 3,9 ∈ 2,1 则有 在 恒成立， 5 2 4 1 9 ≤ −3 +1 ∈ 2,1 令 ， ，则 ， 2 4 2 2 5 1 2 5 = −3 +1= −3 +9 ∈ 2,1 min = 3 =9 所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 . 5 5 （ii）9因 ≤ 为9 ≤ 1 −∞,1 ， 2 令 ℎ ，=由 题意−可1 知− 3 +2 ⋅ ，−1 +2 +1 令 = −1 ∈ 0,，+∞ ， 2 则函 数 = − 3 +2 +2 +1 ∈ 0,+∞ 有三个不同的零点， 2 等价于ℎ = −1 − 3 +2 ⋅ −在1 +2 +1 有两个零点， 2 = − 3 +2 +2 +1 ∈ 0,+∞ 试卷第7页，共4页当 时，方程 ，此时 ，解得 或 ，关于 1 2 1 1 的方 = 程 0 有三个零点 ， 符合 = 题 0 ⇒ 意； =−2 = −2 =0 =2 当 时，记两个零点为 ， ，且 ， ， ， ≠0 1 2 1 < 2 0< 1 <1 2 ≥1 所以 ， 0 =2 +1> 0 1 =− ≤ 0 2 综上实 数=9的 取+值4范 围>是0 . 1 0,+∞ ∪ −2 试卷第8页，共4页