2024 级高二年级第一学期阶段考试 数学科试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．集合 ， ，则 （ ）
2
A． ={ | <1}B． ={ | −2 <0}C． ∩ = D．
2．若 { |0< <1} { |−1<在 <0} 上是{ 单|−调1函<数 ，<则2}的取值{ 范|0围<是 （<2}）
2
A． =−2 B −．2 +1 + C 3． −1,2 D．
3 9 3 9 9 3
3．已知复2,+ 数 ∞ 满足 −2,2 ，则 − 的 ∞ 虚 ,− 部2为（ ） −∞,−2 ∪ 2,+∞
A．1 2 +B ．=3−i C． D．
4．已知 且 −1 ，则 的最大i 值为（ ） −i
A．2 >0, >0 B 2． + 5 5 =10 C． D．
3 5
5．若 ，则 （ ） 2 2
2
A．tan =6 cos B ．+sin2 = C． D．
13 13 1 1
6．已知37 为空间内三 − 个3不7 共面的向量，平面4和平面 的法向量分别 − 为4
和 1 , 2 , 3 ，若 ，则 （ ） = 1 + 2 +
3 3 A． 5=− 1 +2 2 + B ． 3 ∥ + C=．3
7．如图，将菱形纸片
−
沿
5
对角线 折成直二面角，
分别为 的中点， 是 的中点 ， ，则折 后,
2π
二面角 , 的余弦 值 为 （ ） ∠ = 3
− −
A． B． C． D．
21 21 3 13 3 11
7 − 7 13 − 11
试卷第1页，共4页8．19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制
随机数据中，以数 开头的数出现的概率 满足 ，如斐波那契
∗ 10
数、阶乘数、素数等 都 比 ∈ 较 符合该定律.后来常有数 学 爱好者用 1− 此 定 律来 = 检 lg 验 +某1 些经济数据、
选举数据等大数据的真实性.若 ，则 的最大值为（ ）
log23×log35 ∗
=1 ≤ 1+log25 ∈
A．6 B．5 C．4 D．3
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若 是空间任意四点，则有
B．若直 线, ,的 ,方 向向量与平面 的法向量 的 +夹 角 为+ +， 直 线=与 0 平面 所成的角等于
C．已知 是空间的一个 基底，则 130° 也是空 间的一个基底 50°
D．已知 为 , 坐 , 标原点，向量 + ，, + , + + ， ，
则点 不能构成三角形 =− +2 − =−3 +6 −3 =−2 +4 −2
10．若函 数, , 的图象与函数 的图象交点的横坐标所在的区间为
1
， 则 的 = 可 2 能 e 取值为（ ） = +5
, A+．1 B． C．1 D．2
11.已知
−
正
2
方体
−1
棱长为1，P是 上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．当点P 在 直 线 − 1 上1 运1 动1时，一定有 1
B．当点P在直线 1 上运动时，三棱锥 1 ⊥ 的1 体积不变
1 1−
C． 的最小值为
+ 2− 2
D．以点B为球心， 为半径的球面与平面 的交线长为
2 6
三．填空题：本题共3小2题，每小题5分，共1 5 分1 ． 3 π
12．某地区采用分层抽样的方法，抽取一定数量的高中学生参加禁毒知识竞赛．若得到的
样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且该地区高一、高三学生数之比
为 ，则样本容量为 ．
13．2:过3 、 两点的直线的倾斜角为 ，那么实数 .
−1, +1,4 45° =
试卷第2页，共4页14．如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个
铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水
面均相切，此时容器中水的体积为 .
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15．本小题满分13分
如图，在平行六面体 中，以顶点A为端
点的三条棱长度都为 1 ， 且 −两 两1夹 1角 1为 1 ．记 ，
， ． 60° =
( 1 ) 求= 的 长 1 ；=
(2)求 1 与 夹角的余弦值．
1
16．本小题满分15分
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为 ．
(1)求x的值； 0.19
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？
(3)已知 ， 求九年级中女生比男生少的概率．
≥245 ≥245
试卷第3页，共4页17．本小题满分15分
已知 ， ，函数 .
2
（1） 当=( 3cos 时 ,s，in求 ) 的=值(1域,co；s ) ( )= ⋅
∈ 0,2 ( )
（2）已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，求
的面
△
积
.
, , , , (2)= 3 =4 + =5
△
18．本小题满分17分
如图，在三棱锥 中， 底面 .
点D，E，N分别 −为 棱 ⊥的中点 ， M,∠ 是 线 段=90°
的中点， ， , , .
（1）求证 ： = =平面8 ；=4
（2）求二面角 // 的正弦值；
（3）已知点H 在−棱 上−， 且直线 与直线 所成角
的余弦值为 ，求线段 的长.
7
21
19．本小题满分17分
函数 ，关于 的不等式 的解集为 .
2
（1） 求 =、 的−值 ； + <4 −1,3
（2）设 .
=
（i）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
5 2
（ii）若函数
log3 −9 ⋅log3 +3≥0 ∈ 3,9
有三个不同的零
点，求实数 的
取值范围（ 为ℎ 自 然=对 数−的1底⋅数 ） . −1 −3 −1 +2
试卷第4页，共4页2024级高二年级第一学期数学阶段考试参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D B D A B A C ACD BC ABD
二．填空题
12．460； 13．1； 14．
15.（1）由题意知： ， 72π ，
∴ = = =1 <， , >=< , >=< , >=60°
1
⋅ = ⋅ = ⋅ =1×1×cos60°=2
又∵ ，
1 = + 1 + 1 1 =− + +
∴ ，
2 2
2 2 2
∴ 1 = +， 即− 的=长 为+ ，+ +2 ⋅ −2 ⋅ −2 ⋅ =1+1+1−1=2
（2 ） ∵1 = 2 1 2，
= + = +
∴ ，∴ ，
2 2 2 2 1
= + = +2 ⋅ + =1+2×2+1=3 = 3 ，
2 2
∴ 1 ⋅ = + − ⋅ + = ⋅ +， ⋅即 − 与+ 夹+角 的⋅ 余−弦 值⋅ 为=1．
1 ⋅ 1 6 6
cos< 1 , >= 1 = 2× 3= 6 1 6
16.【详解】（1）由题意 ， ．
（2）九年级人数为 2000 =0.19 ∴ =380 ，
+ =2000−(373+377+380+370)=500
现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为
500
（名）．
2000×48= 12
（3）设九年级女生比男生少为事件 ，九年级女生数，男生数记为 ，
由（2）知 ， ， ． ( , )
满足题意的 所+有 样=本50点0 是 ∈
(245,255),(246,254),(247,253),(248,25，2共),(12149个,2，51),
(其25中0事,25件0),包(2含51的,24样9本),(点25是2,248),(253,247),(254,246),(255,245) 共5个，
(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),
．
5
∴ ( )= 11
试卷第5页，共4页17.【详解】（1）∵ ， ，函数 .
2
∴ =( 3cos ,sin ) =(1,cos ) ( )= ⋅
2
= 3cos +sin cos
3 1 π 3
= 2 1+cos2 +2sin2 =sin 2 +3 + 2
又 ， 得 ， ，
π π π 4 3 π
0≤ ≤ 2 3 ≤2 +3 ≤3π − 2 ≤sin 2 +3 ≤1
.
π 3 3
0≤sin 2 +3 + 2 ≤ 2 +1
即函数 在 上的值域为 ．
π 3
= ∈ 0,2 0, 2 +1
（2） ，
π 3
∵ 2 = 3 ∴ sin +3 = 2
由 ，知 ，
π π 4
∈ 0,π 3 < +3 <3π
解得： ，所以 ，
π 2 π
由余弦定 + 理3知 = ：3π = 3 ，即 ，
2 2 2 2 2
= ，因+ 为−2 cos ，所以16= ，+ −
2
∴∴16= + −3
.
+ =5 =3
1 3
18. 【 △ 详 解 = 】（2 Ⅰ ） sin 如 图 = 所4示 3 建立空间直角坐标系.
证(明0,0：,0), (4,0,0), (0,8,0), (0,0,4),. 设(0,4,4), (0,0为,2)平, 面(2,4,0),
的法 向=量(，0,则4,0), =(4,0，,即−4) =( , .不, )妨设
⋅ =0 4 =0
=
，可得 ，又 ，
⋅ =0 4 −4 =0
1可得 =(1,0.因,1)为 平 面=(2,4,，−2所)以 平
面 ，⋅ =0 ⊄ //
（ Ⅱ） 解：易知 为平面 的一个法向量.
设 为 1 平 = 面 (1,0,0) 的法向量 ， 则 ，
2 ⋅ =0
2 =( , , )
因为 ， ， 2 所⋅ 以 =0 .
−4 −2 =0
=(0,−4,−2) =(4,0,−2)
4 −2 =0
试卷第6页，共4页不妨设 ，可得 ，因此有 ，
1⋅ 2 6
=2 2 =(1,−1,2) cos 1 , 2 = 1 2 = 6
于是 .所以，二面角 的正弦值为 ；
30 30
（Ⅲ）sin依 题 1,意 2 ，=设 6 −， − 6
则 ，进而可 得=ℎ(0 ≤ℎ≤ 8) ，
由已 (知0,0，,ℎ得) =(−2,−4,ℎ) =(−，4,4,4)
⋅ 4ℎ−8 7
cos〈 , 〉 = = ℎ 2 +20×4 3= 21
整理得 ， 解得 ，或 .
2 16
5ℎ −21ℎ+16=0 ℎ= 5 ℎ=1
所以，线段 的长为 或1
16
19.【详解】（ Ⅰ）因为 5 的解集为 ，
2
即方程 <的4两⇒根 为−-1 和 +3， −4<0 −1,3
2
− + −4=0
由韦达定理可知 ，解得 .
−1 +3= =2
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可−1得×：3= −4 =1，
1
= = + −2
所以不等式 在 上恒成立，
5 2
log3 −9 ⋅log3 +3≥0 ∈ 3,9
等价于 在 上恒成立，
5 1 4
2
9 ≤ log3 −3log3 +1 ∈ 3,9
令 ，因为 ，所以 ，
1 1
=log3 ∈ 3,9 ∈ 2,1
则有 在 恒成立，
5 2 4 1
9 ≤ −3 +1 ∈ 2,1
令 ， ，则 ，
2 4 2 2 5 1 2 5
= −3 +1= −3 +9 ∈ 2,1 min = 3 =9
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 .
5 5
（ii）9因 ≤ 为9 ≤ 1 −∞,1 ，
2
令 ℎ ，=由 题意−可1 知− 3 +2 ⋅ ，−1 +2 +1
令 = −1 ∈ 0,，+∞ ，
2
则函 数 = − 3 +2 +2 +1 ∈ 0,+∞ 有三个不同的零点，
2
等价于ℎ = −1 − 3 +2 ⋅ −在1 +2 +1 有两个零点，
2
= − 3 +2 +2 +1 ∈ 0,+∞
试卷第7页，共4页当 时，方程 ，此时 ，解得 或 ，关于
1 2 1 1
的方
=
程
0
有三个零点
，
符合
=
题
0 ⇒
意；
=−2 = −2 =0 =2
当 时，记两个零点为 ， ，且 ， ， ，
≠0 1 2 1 < 2 0< 1 <1 2 ≥1
所以 ，
0 =2 +1> 0
1 =− ≤ 0
2
综上实 数=9的 取+值4范 围>是0 .
1
0,+∞ ∪ −2
试卷第8页，共4页
