数学试题_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年12月试卷_1205浙江省六校联盟2024-2025学年高二期中联考_浙江省六校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

保密★考试结束前
六校联盟2024学年第一学期期中联考
(2024.11)
高二数学试题卷
命题、审题：台州市金清中学(汪德富) 温岭市松门中学(吴志康)
考生须知：
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
选择题部分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求
的，不选、多选、错选均不得分)
1.直线 3xy30的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
x2
2.已知双曲线方程为 y2 1，则其焦距2c=( )
3
A.2 3 B.2 2 C.2 D.4
3.若平面a的一个法向量n2，2,1，点 A1,3,0 在平面a内，则点 P2,1,4到平面a的距离
( )
8 10
A.3 B.10 C. D.
3 3
4.已知圆C :x2(y1)2 9与圆C :(x2 3)2(y1)2 1的位置关系为( )
1 2
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
5.已知直线l经过两条直线l ：xy2， l ：2xy1的交点，且l的一个方向向量为v2,3，则
1 2
直线l的方程为( )
A.2x3y50 B.3x2y50
C.3x2y50 D.2x 3y 1 0
x2 y2
6.已知双曲线  1(a0,b0)的左右焦点分别为F,F ，且 FF 2，当点F 到渐近线的距离
a2 b2 1 2 1 2 2
1
为 时，该双曲线的离心率e为( )
2
3 4 2 3
A. B. C.2 3 D.
3 3 3
x2 y2
7.已知点M在椭圆C:  1上运动，圆C的圆心为椭圆的右焦点，半径r1，过点M引直线l,l
25 16 1 2
与圆C相切，切点分别为P，Q，则|PQ|的取值范围为( )
 3 7   3 7 4 7 
A.  2, 4    B.  3, 4   C.  7 ,2    D.[ 3,4)
六校联盟期中联考【高二数学】试题卷(第1页,共4页)
{#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}8.在三棱锥DABC中，ABBC，AB= 3,BC=1,若AD为三棱锥DABC的外接球直径，且AC与BD
5
所成角的余弦值为 ，则该外接球的表面积为( )
10
A.8π B.6π C.5π D.16π
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要
求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分)
9.下列说法正确的是( )
A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B.直线l的方向向量a0,3,6，平面a的法向量n1,2,1，则l
C.已知直线l经过点A1,2,1,B0,1,1，则P1,2,2到l的距离为 3
D.若ab0，则 a,b 为钝角
10.已知直线l：kx2k1y3k20，则下列选项正确的是( )
1
A.当直线l与直线xy20平行时，k 
3
B.当直线l与直线xy20垂直时，k 1
C.当实数k变化时，直线l恒过点1,2
D.直线l和x,y负半轴构成的三角形面积最小值是4
11.如图，在长方体 ABCDABCD 中， AB AA 5,AD3，点P是平面 ABCD上的动点，满足
1 1 1 1 1
BD BP， D C
1 1 1 1
A.P在底面ABCD上的轨迹是一条直线
A
1 B
1
B.三棱锥PABC 的体积是定值
1 1 1
D
5 34
C.若角是直线DP和平面ABCD所成角，则tan的最大值是 P C
1 9 A B
D.不存在点P，使得PD PC
1
非选择题部分
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.向量a1,x,4与b2x,8,y共线，且方向相同，则xy＝ .
y2
13.设F，F 是双曲线x2 1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且4PF 3PF ，则PFF 的面积
1 2 24 1 2 1 2
等于 .
14.圆和圆锥曲线的关系十分密切，它们有很多相似的结论.例如，过圆x2y2 r2上任意不同两点作
圆的切线，如果切线垂直且相交于P点，则动点P的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆
x2
C： y2 1，过椭圆C上任意不同两点作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于P点，则动点P的轨
2
迹方程是 ．
六校联盟期中联考【高二数学】试题卷(第2页,共4页)
{#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}四、解答题(本题共5小题；其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19
小题17分；共77分)
15.(13分)如图，在正四面体OABC中，OA4，M为棱OA的中点，N为棱BC(靠近C点)的三等分点，
设OAa,OBb,OCc
(1)用a,b,c表示MN；
(2)求MN的长.
16.(15分)在坐标平面上有两定点A(1,0),B(2,0)，动点P满足PB 2 PA
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若直线l:ykx1与圆交于P，Q两点，且OPOQ3，求实数k的值.
17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB2,且AB<AD，CD 2，
PAD120，ADC=45.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
33
(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 ，求二面角B-PC-D夹角余弦值的大小.
44
六校联盟期中联考【高二数学】试题卷(第3页,共4页)
{#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}x2 y2 1
18.(17分)已知椭圆E：  1ab0焦距为2，离心率e是
a2 b2 2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F1,0作两条互相垂直的弦AB，CD，其中B,D在x轴的上方，且B在D的右侧，设弦AB，CD
的中点分别为M，N.
①若弦AB，CD的斜率均存在，求四边形ACBD面积的最小值；
②判断直线MN是否过定点,若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
19.(17分)人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之
间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设 Ax,y  ， Bx ,y  ，则欧几里得距离
1 1 2 2
D(A,B) x x 2 y y 2 ； 曼 哈 顿 距 离 d(A,B) x x  y y ， 余 弦 距 离
1 2 1 2 1 2 1 2
e(A,B)1cos(A,B)，其中cos(A,B)cosOA,OB(O为坐标原点)．
(1)若A(-1,2)，B(1,-1)，求A，B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离e(A,B)；
(2)若点M(2,1)，d(M,N)=1，求e(M,N)的最大值；
(3)已知点P，Q是直线l:y-1=k(x-1)上的两动点，问是否存在直线l使得d(O,P) =D(O,Q) ，若存在，
min min
求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由．
六校联盟期中联考【高二数学】试题卷(第4页,共4页)
{#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}