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乌鲁木齐市第四十中学 2023-2024 学年
高三上学期 11 月月考 数学试题
总分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（8小题每题5分共40分）
1．已知 是虚数单位，复数 的共轭复数在复平面中对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合 ， ，则使 成立的 的值是（ ）
A． B． C． D． 或
3．2020年新冠肺炎全面爆发，武汉以平均一天一座方舱医院的速度，集中
改建了16座方舱医院，抽调8000多名医护人员参与救治，从2月5日到3
月10日，16家方舱医院共收治1.2万多名患者，实现了从“人等床”到
“床等人”的转变，彻底扭转了“一床难求”的被动局面.全部病人出院后，
某方舱医院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名中年
人和150名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，则从中年人中抽取的
人数为（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
4．已知函 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．11 D．13
5．椭圆 的焦距为 ，过点 作圆 的两条
学科网（北京）股份有限公司切线，切点分别为 .若椭圆离心率的取值范围为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
7．若tan α=2 ，π<α< ，则cos 等于（ ）
A． B． C． D．
8．设数列{a }满足：2a ＝a (n∈N*)，且前n项和为Sn，则 的值为(
n n n＋1
)
A． B． C．4 D．2
二、多选题（共4小题每题五分，共20分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
分。）
9．如图，已知圆锥OP的底面半径 ，侧面积为 ，内切球的球心为 ，外接球的球心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球 的表面积为
B．设内切球 的半径为 ，外接球 的半径为 ，则
C．过点 作平面 截圆锥 的截面面积的最大值为2
D．设圆锥 有一内接长方体，该长方体的下底面在圆锥底面上，上底
面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该长方体体积的最大值为
10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直
于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，
若∠NRF＝60°，则（ ）
A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1
C．|FP|＝4 D．|FR|＝4
11．若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的
概率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为
，收到1的概率为 . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传
输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送
3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为
学科网（北京）股份有限公司译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次
收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概
率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大
于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知 , =4, 与 的夹角为 ，则 .
14．已知正三棱台 中， ，圆柱的一个底面经
过 ， ， 的中点，另一个底面的圆心为 的中心，则该圆柱的
侧面积为 ．
15．已知 、 为圆 : 上的两个动点，且 ，点 为
线段 的中点，对于直线 : 上任-点 ，都有 ，则实数 的
取值范围是 .
16．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
，则 ．四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答
题区域的答案无效。）
17．已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件
．
(1)求B的大小；
(2)如果b＝2， ，求 ．
18．已知递增的等差数列 的首项是1， 是其前 项和，且
.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
19．某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中
随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：
学科网（北京）股份有限公司日加工零件
数（个）
人数 a a b c c c
将频率作为概率，解答下列问题：
(1)当 时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件
数达到240及以上的概率；
(2)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数
的平均数为222个，求 的值(每组数据以中点值代替)；
(3)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件
数未达200的员工为C级；达到200但未达280的员工为B级；其他员工为
A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C
三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中
级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现
从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X
的分布列和期望．20．在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面
底面 ， , , 分别为 的中点，点
在线段 上.
（Ⅰ）求证：直线 平面 ；
（Ⅱ）若 为 的中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设 ，当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为
，求 的值.
21．已知函数 . .
（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程（ ）；
（II）求函数 的单调区间.
22．已知函数 ， ， ，且 的最小值为0.
（1）若 的极大值为 ，求 的单调减区间；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， 的是 的两个极值点，且 ，证明： .月考答案：
1．A
【分析】化简复数 ，求出共轭复数，即可得到答案；
【详解】 ，
，
对应的点位于第一象限，
故选：A
2．A
【解析】根据集合A，B，以及B⊆A即可得出 ，从而求出a＝﹣1．
【详解】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{a，a2}，且B⊆A；
∴
∴a＝﹣1．
故选：A．
3．D
【分析】利用分层抽样的定义，结合题干数据即得解
【详解】某方舱医院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名
中年人和150名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，
则从中年人中抽取的人数为：
170 80.
学科网（北京）股份有限公司故选：D
4．C
【分析】令 ，则 ，则先判断函数
，进而可得 ，即 ，结合已知条件
即可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
因为
，
所以 ，
则 ，又因为 ，则 ，
故选：C.
5．D
【分析】由题意得 ，利用直角三角形中正弦函数的定义可得
，利用离心率的取值范围，求得 ，即可得答案.
【详解】在直角三角形 中，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ .
故选：D.
6．C
【分析】对函数求导，由“函数在 上单调递减”转化为导数小于或等于0，
在 上恒成立求解.
【详解】因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又函数 在 上为增函数，
所以 ，故 .
故选：C
7．C
【分析】由正切先求出余弦值，根据角的范围分析cos 的正负，利用cos
= 计算即可.
【详解】因为tan α= =2 ，sin2α+cos2α=1，所以cos2α= .又因为π<α<
，所以
学科网（北京）股份有限公司cos α < < ，所以cos = = = .
故选：C
8．A
【详解】由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故 ，
故选A.
9．ACD
【分析】结合底面半径和侧面积求出母线，由外接和内接的性质，结合几何关
系和勾股定理即可求解 ，进而求出外接球半径；由 可判断过点P作平
面 截圆锥 的截面面积最大时对应三角形为等腰直角三角形，结合面积公式
可求解；由圆的内接四边形面积最大时为正方形，确定上下底面为正方形，列
出关于V的关系式，结合导数即可求解.
【详解】因为 ，解得 ，即圆锥母线长为2，则高 ，
设圆锥外接球半径为 ，如图，
则对 由勾股定理得 ，即 ，
外接球面积为 ，故A正确；设内切球 的半径为 垂直于交 于点D，如图，
则对 ，即 ，
解得 ，故B错误；
过点P作平面 截圆锥 的截面面积的最大时，如图，
因为 ，故恰好 为等腰直角三角形时取到，
点C在圆锥底面上， ，故C正确；
设圆锥 有一内接长方体，其中一个上顶点为E，上平面中心为 ，
如图，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大，
长方体体积为 ，
当 时， 时， ，
故 ，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】由平行线的性质可推出∠FQP＝60°，由抛物线的定义可推出△FQP为
等边三角形，从而求出|QM|、|FP|判断B、C，再证明△FRN为等边三角形即可
求得|FR|判断D.
【详解】如图，
连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ．
又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°．
由抛物线定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝
2，
所以等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，|FN|＝ |PF|＝2，又 ,所以△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2．
故选：AC
11．BC
【分析】根据题目求导得到 ，将函数 既有极大值也有极小值转化为
在 上有两个不同的实数根，再结合一元二次方程根的分布讨论即
可求解.
【详解】函数 的定义域为 ，
则 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，
所以 在 上有两个不同的实数根，
即 在 上有两个不同的实数根 ， ，
则有 且 ， ，
即 ， ，所以 ，即 ，则 ，
故选：BC.
12．ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥
事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收
1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
学科网（北京）股份有限公司它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的
事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，
1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，
C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
13．
【分析】根据向量数量积的定义及运算律进行求解.
【详解】因为 , =4, 与 的夹角为 ，
所以 .
故答案为：
14．【分析】根据给定条件，利用正三棱台的结构特征求出圆柱的底面圆半径及高，
再利用圆柱的侧面积公式计算作答.
【详解】在正三棱台 中，令侧棱 ， ， 的中点分别为
，
显然 为正三角形， ，依题意， 的外接圆是圆柱的
下底面圆，
令其圆心为 ，圆 半径 ，
令正 的中心为 ，则 ，
在直角梯形 中，高 ，
所以圆柱的侧面积 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司15．
【解析】由题意可求得 ，设 到直线 : 的距离为 ，由已知可知
，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】根据题意可得 ，解得 ，
其中 ，设 到直线 : 的距离为 ，
则 ，即 ，解得
故答案为：
16．2
【分析】由已知可求得 ，再由正弦定理即可求出
【详解】由 ，得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ．
由正弦定理 ，得 ．
故答案为：2.
17．(1)
(2)【分析】（1）利用正弦定理进行边化角得 ，则 ，从而得
到 的大小；
（2）利用余弦定理得 ，结合 得 ，利用三角形面积
公式即可得到答案.
【详解】（1）∵ ，结合正弦定理 ，
∴ ，
∵△ABC中，
∴ ， ，则 ．
，∴ ．
（2）∵ ， ，由余弦定理 ，
即 ．
即 ，又因为 ，所以
故 ．
18．(1) ；(2)
【分析】(1)设等差数列 的公差为d(d>0)，由题意化简并求值可得d=1，进而
得出通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2)根据(1)可得 ，利用错位相减法求其前n项和即可.
【详解】(1)设等差数列 的公差为d(d>0)，
则 ，
整理，得 ，解得d=1或 (舍去)，
故 ；
(2)由(1)知， ，
故 ①，
②，
①-②，得 ，
故 .
19．（1）0.42；（2） ；（3）
【分析】（1）先求得 的值，然后求得员工日加工零件数达到 及以上的频率，
根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率.
（2）先求得 的值，然后根据平均数的估计值列方程，求得 的值，进而求得
的值.
（3） 的可能取值为 ，列出分布列并求得数学期望.
【详解】（1）依题意 ，故员工日加工零件数达到 及以上的频率为 ，所以相应的概率可视为 ，设抽取的 名员工中，加工零件
数达到 及以上的人数为 ，则 ,故所求概率为 .
（2）根据后三组数据对应频率分布直方图的纵坐标为 ，可知 ，
解得 ，因此 ，故根据频率分布直方图得到的样本平均数估
计值为 ，解得 ，进
而 ，故 .
(3)由已知可得 的可能取值为20,30,50，
且 ，所以 的分布列为
X 20 30 50
0. 0. 0.
P
2 4 4
所以 .
20．(Ⅰ)见证明；(Ⅱ) (Ⅲ)
【分析】（Ⅰ）因为 ， ，所以 ，即 ．又由
题意可知 底面 ，所以 ，由线面垂直的判定定理即可得证．
（Ⅱ）分别以 为 轴、 轴和 轴正方向建系，利用向量法能求出平
面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
（Ⅲ）由 结合（2），可得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司又平面 ，根据线面角的余弦值即可求解．
【详解】（Ⅰ）证明：在平行四边形 中，因为 ， ，所
以 .
所以 .
因为侧面 底面 ，且 ，面 面
且 面 所以 底面 .
又因为 底面 ，所以 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（Ⅱ）解：因为 底面 ， ，所以 两两垂直，故以
分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ， ，得
令 ,得 .
为 的中点，由（1）知， 平面 且 ，
所以 ，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 ；（Ⅲ）设 ，则 ，所以 ，
由（1）知 .直线 与平面 所成的角正弦值为
所以 ，即 ，
解得 .或 （舍）
21．（I） ；（II）详见解析.
【分析】（Ⅰ）对函数进行求导得到切线的斜率 ，切点为 ，根据
点斜式即可写出切线方程；
（Ⅱ）由题可得 ，分 ； ； ； 进行讨
论，即得．
【详解】（I）当 时， ， ，
所以 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ；
（II）由 ，可知
函数 的定义域为 ， ，
①当 时， ，在 上 ，在 上
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，在 上递减；
②当 时，在 和 上 ，在 上 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上递减；
③当 时，在 上 且仅有 ，
所以 在 上单调递增；
④当 时，在 和 上 ，在 上
所以 在 和 上单调递增，在 上递减.
综上，当 时，函数 单调增区间为 ，单调减区间为 ；当
时，函数 单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；当
时，函数 单调增区间为 ；当 时，函数 单调增区间为
和 ，单调减区间为 .
22．（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据 的最小值为0分析可得 ，求导后，利用导数求出
函数的极大值，与已知极大值相等列方程，可解得 ，从而可求得递减区间；（2）将不等式转化为证 ，对任意 恒成立，再构造函数
， ,利用导数可得到证明.
【详解】（1）因为 的最小值为0，故对任意 ， 即
恒成立，
且存在实数 使得 ，即 能成立，
故关于x的一元二次方程 根的判别式 ，故 ，
故 ，则
，
令 ，则 或 ，故 在 和 上单调递增，
令 ，则 ，故 在 上单调递减，
故 是 的唯一极大值点，则
，解得 ，
故 的单调减区间为 .（写成 ， ， 均可得分）
学科网（北京）股份有限公司（2）不妨设 ，由（1）可知， 的极大值点 ，
极小值点 ，
又 ， ，故要证： ，
即证 ，
即证 ，即证 ，对任意 恒成立，
构造函数 ， ，令 ，
则 ，故 在 上单调递减，又 ，故 ，
故 在 上单调递增，又 ，故 ，
即 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
特别地，取 ，则有 成立，
故原不等式成立.
