文档内容
2024-2025 学年第一学期高二年级期末质量监测
数学试题
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签
字笔写在答题卡上.
4.考试结束后将本试题和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.
1. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为 ，且满足 ，则 的
离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. 188 B. 189 C. 190 D. 191
4. 过点 向圆 可以作两条切线，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 当 时，设函数 存在导数 ，且满足 ，若 ，则 （
）A. B. C. 0 D.
6. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知点 是抛物线 上的一个动点，点 是直线 上的一个动点，则 的最小值为（
）
A. B. C. 2 D.
8. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 当直线 与直线 平行时，
B. 当直线 与直线 垂直时，
C. 直线 与 轴正半轴和 正半轴围成的三角形面积的最小值是
D. 直线 和圆 相交于 两点，则 最小值是4
10. 已知双曲线 的左顶点为 ，右顶点为 ，第一象限的点 在 上，且点 不与点 重合，若直线 与直线 的斜率分别为 ，则下列命题中正确的是（ ）
A. 存在点 ，使
B. 存在点 ，使
C. 对任意点 ，均有
.
D 对任意点 ，均有
11. 设函数 ，则（ ）
A. 是 的极小值点 B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线 的焦点到准线的距离是__________.
13. 已知直线 与曲线 相切，则 ______.
14. 在数学中连加符号是“ ”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“ ”这个符号下面条件的所有项都
加起来，例如： .类似的在数学中连乘符号是“ ”，这个符号就是连续求积的意思，
把满足“ ”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如： .已知数列 满足：
，则 __________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
的
（2）若数列 满足 ，求数列 前 项和 .
16. 已知点 是抛物线 上的动点，过 向 轴作垂线段，垂足为 ，记垂线段 的中点为 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）不过坐标原点 的直线 与点 的轨迹相交于 两点，且以线段 为直径的圆过点 ，
求 的面积.
17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，
.
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
18. 已知椭圆 的两个焦点为 ，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
的
（2）若过点 直线与椭圆 交于 两点，求证： 的内心在一条定直线上.19. 如果函数 的导数 ，可记为 .若 ，则
表示曲线 ，直线 以及 轴围成的“曲边梯形”的面积.
（1）求曲线 在 上与 轴围成的封闭图形的面积；
（2）当 时，求证： ；
（3）求证： .
