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棠湖中学高 2021 级高三 10 月考试
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则
A. B. C. D.
2. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩.石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑
固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动.不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二
是寓意“方方圆圆”.如图所示，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（ ）
A. 半圆柱和四棱台 B. 球的 和四棱台
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学科网（北京）股份有限公司C. 半圆柱和四棱柱 D. 球 的和四棱柱
5. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离 随时间 的变化曲线是一个三角函
数的图像（如图所示），则这条曲线对应的函数解析式是（ ）
A.
B.
.
C
D.
7. 方程 的两根为 ， ，且 ，则
A. B. C. D. 或
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学科网（北京）股份有限公司8. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 (
)倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象，若函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
9. 函数 ，则 （ ）
A. 0 B. C. 4 D. 1
10. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
11. 在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC的中点，若 ，且 ，则三棱锥P-
ABC外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 定义在 上的奇函数 ，满足 ，当 时， ， ，
则函数 在 的零点个数为（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知 是虚数单位，则复数 的实部为______.
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学科网（北京）股份有限公司14. 若 ， 满足 ，则 的最小值是________．
15. 已知函数 ，若 ，使 成立，则实数 的取值范围是
___________.
16. 关于函数 有如下四个结论：
①对任意 ， 都有极值；
②曲线 的切线斜率不可能小于 ；
③对任意 ，曲线 都有两条切线与直线 平行；
④存在 ，使得曲线 只有一条切线与直线 平行．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝ ，BC＝2，P是△ABC内的一点，△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角
形，△APC的面积为 ．
（1）求PA长；
（2）求cos∠APB的值．
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 ，且 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
的
（2）求函数 单调区间；
（3）若函数 有最值，写出 的取值范围．（只需写出结论）
19. 如图， ， ， 平面 ， ， ，
．
（1）证明： ；
的
（2）求二面角 正弦值．
20. 已知函数 （ ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求 的单调递增区间以及 图象的对称中心坐标；
（2）是否存在锐角 ， ，使 ， 同时成立？若存在，求出
角 ， 的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数 ．
（1）若函数 有两个零点，求 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ，求 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)．以原点 为极点， 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标为
（1）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，点 的坐标为 ，证明：直线 关于 轴对称．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23. 已知函数
（1）求不等式 的解集；
（2）记函数 的最小值为 ，若 是正实数，且 ，求证 .
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