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2024 届高三第一学期期中质量监测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，
在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．2
3．“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生
活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、
下底面半径之比为 ，丹线长为 ，其母线与底面所成的角为 ，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司5．已知函数 ，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ；
乙：该函数图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到：
丙：该函数在区间 上单调递增；
丁：该函数满足 ．
如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知奇涵数 的图象关于直线 对称，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若不等式 的解集为 ，
则函数 的极小值是（ ）
A． B．0 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在正方体 中， 分别为 的中点，则（ ）
A． B． C． 平面 D． 平面
学科网（北京）股份有限公司10．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列 满足 ，则（ ）
A． B．数列 为递增数列
C． D．
12．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 恒有1个极值点
B．当 时，曲线 恒在曲线 上方
C．若函数 有2个零点，则
D．若过点 存在2条直线与曲线 相切，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量 ，若 与 共线，则 ____________．
14．写出一个同时满足下列两个性质的函数： ____________．
① ；② ．
15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空
气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，经过 分钟后物体的温度为 满足
．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在 ．现有一杯 的热水用来冲咖啡，
经测量室温为 ，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待____________分钟．（结果保
留整数）（参考数据： ）
16．在平面四边形 中， ，将四边形沿 折起，使
学科网（北京）股份有限公司，则四面体 的外接球 的表面积为____________；若点 在线段 上，且
，过点 作球 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数 ．
（1）求 的最大值及相应 的取值集合：
（2）设函数 ，若 在区间 上有且仅有1个极值点，求 的取值范围．
18．（12分）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求角 ：
（2）已知 是边 的中点，且 ，求 的长．
19．（12分）已知数列 中， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
20．（12分）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ；
（3）设 为整数，若对于 成立，求 的最小值．
21．（12分）如图， 是半球 的直行， 是底面半圆弧 上的两个三等分点， 是半球
面上一点，且 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ：
（2）若点 在底面圆内的射影恰在 上，求直线 与平面 所成角的正弦值．
22．（12分）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 为两个不相等的实数，且 ，证明： ．
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