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高三数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1. 集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式求出集合 ， ，再根据交集的定义求解即可．
【详解】由 ，
，
则 ，
即 ，
故选：C.
2. 函数 是定义在 上 的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】解：因为 是定义在 上 的奇函数，当 时， ，
所以 .
故选：D.
3. 展开式中第6项的二项式系数是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据第6项的二项式系数即可求解.
【详解】 展开式中第6项的二项式系数是 ，
故选：C.
4. 已知函数 是定义在 上的增函数，则满足 的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可.
【详解】由题意可知 ，解不等式得 .
故选：D
5. 体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为
0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（ ）
A. 0.38 B. 0.24 C. 0.14 D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 ，
故选：A
6. 函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数 是实数集上的增函数， 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 上单调递增，
因为二次函数 的对称轴为 ，
所以有 ，即 ，
故选：A
7. 函数 的图像恒过定点 ，若点 在直线 上，其中
，则 的最小值为（ ）
A. 4 B.
C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出对数函数的定点 ,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解.
【详解】因为当 时， 所以函数
的图像恒过定点 ，即 ，因为点 在直线 上，
所以 即 因为 所以当且仅当
即 时取等号.
故选：D.
8. 已知函数 是R上的偶函数，对于 都有 成立，且 ，
当 ，且 时，都有 ．则给出下列命题：
① ；②函数 图象的一条对称轴为 ；
③函数 在 上为严格减函数；④方程 在 上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】对于①，令 代入已知等式可求出 ，再结合其为偶函数可得f (3)=0，从而可求
出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由 为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，
由当 ，且 时，都有 ，可得y=f (x)在 上为严格增函数，再结
合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由f (3)=0， 的周期为6，及函数的单调性分析判断.
【详解】①：对于任意 ，都有 成立，
令 ，则 ，解得 ，又因为 是R上的偶函数，所以f (3)=0，
所以 ，所以函数 的周期为6，
所以 ，
又由 ，故 ；故①正确；
②：由（1）知 的周期为6，
又因为 是R上的偶函数，所以 ，
而 的周期为6，所以 ， ，
所以： ，
所以直线 是函数y=f (x)的图象的一条对称轴．故②正确；
③：当 ，且 时，都有 ．
所以函数y=f (x)在 上为严格增函数，
因为 是R上的偶函数，所以函数y=f (x)在 上为严格减函数，
而 的周期为6，所以函数y=f (x)在 上为严格减函数．故③正确；
④：f (3)=0， 的周期为6，所以 ，
又 在 先严格递减后严格递增，所以 在 上除端点外不存在其他零点，
所以 在 和 上各有一个零点，
所以函数y=f (x)在 上有四个零点．故④正确；
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出f (3)=0，从而可得 ，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析
问题的能力，属于较难题.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对所给的函数注意判断即可.
【详解】对A： 是偶函数，在 上递减，排除A；
对B： 为偶函数，在 上递增，故B正确；
对C： 为偶函数，在 上递增，故C正确；
对D： 为奇函数，排除D.
故选：BC
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 在 单调递增
B. 有两个零点
C. 的最小值为
D. 在 点处切线为
【答案】ACD【解析】
【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可判断ABC，再根据导数的几何意义求切线方程，
判断D.
【详解】 ， ，
对于A，当 时， ，所以 在(1,+∞)单调递增，故A正确；
，得 ，
当 ，f′(x)<0， 单调递减，
当 ，f′(x)>0， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，C正确，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 只有1个零点，故B错误，
对于D，f (1)=0， ，所以曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为 ，故D正确；
故选：ACD.
11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺
术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作
由抛物线 绕其顶点分别逆时针旋转 后所得三条曲线与 围成的（如图
阴影区域）， 为 与其中两条曲线的交点，若 ，则（ ）A. 开口向上的抛物线的方程为
B. |AB|=4
C. 直线 截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于4
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于 B，联立抛物线方
程，求出点 的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出 的坐标，由两点间距离公
式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出
三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.
【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为 ，顶点在原点，焦点为 ,
将其逆时针旋转 后得到的抛物线开口向上，焦点为 ，则其方程为 ，即 ，故
A正确；
对于B，根据A项分析，由 可解得， 或 ，即 ，代入可得 ，
由图象对称性，可得 ,故 ，即B正确；
对于C，如图，设直线 与第一象限花瓣分别交于点 ,
由 解得 ，由 解得， ,
即得 ,
则弦长为： ，
由图知，直线 经过点 时 取最大值4，经过点 时 取最小值0，
即在第一象限部分满足 ，不妨设 ，则 ，且 ，
代入得， ，（ ）
由此函数 的图象知，当 时， 取得最大值为 ，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 部分面积的近似值.
如图，在抛物线 上取一点 ，使过点 的切线与直线 平行，
由 可得切点坐标为 ,因 ,则点 到直线 的距离为 ，
于是 ,由图知，半个花瓣的面积必大于 ，
故原图中的阴影部分面积必大于 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题.
解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性
情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. __________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据对数和指数运算法则计算可得结果.
【详解】易知
.故答案为：12
13. 已知二次函数 满足 ，则 与 的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】由 得到函数的对称轴，从而得到方程，求出 ，再根据对称性和单调性
比较出大小.
【详解】以为 ，所以 为二次函数图象的对称轴，
所以 ，解得 ．
根据对称性知， ，又函数在 上单调递增，所以 ，
即 ．
故答案为：
14. 在棱长为 的正方体 中，点 分别为棱 的中点. 点 为正方体表面上的
动点，满足 . 给出下列四个结论：
①线段 长度的最大值为 ；
②存在点 ，使得 ；
③存在点 ，使得 ；
④ 是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断
B，设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断③④
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则 ，
对①，由正方体性质知当P在 时，线段 长度的最大值为 ，
此时 ， ，
所以 ，即满足 ，故①正确；
对②，取正方形 的中心M，连接 ，易知 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，故 运动到 处时， ，
此时 ， ， ，即不满足 ，
综上不存在点 ，使得 ，故②错误；
对③，设 ，则 ， ，若存在，
由 ， 可得方程组 ，
化简可得 ，解得 ，显然当 时满足题意，
即存在点 ，使得 ，故③正确；
对④，设 ，若 ，
则 ，化简可得 ，
由③知 时可得 ，所以不妨取 ，
此时 在正方体表面上，满足题意，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否存在
满足条件的点，运算比较复杂，属于难题.
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 是公比为3的等比数列，且 ，求 的前n项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于 和d的方程，求解即
可得{a }的通项公式；
n
（2）由（1）可得等比数列 的第三项 ，进而得 ，从而得到{b }的通项公式，利用等
n
差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出 .【小问1详解】
因为{a }为等差数列，设公差为d，
n
由 ，得 ， 即 ，
由 ， ， 成等比数列得 ， ，
化简 得 ，因为 ，所以 ．
所以 ．
综上 ．
【小问2详解】
由 知 ， ，
又 为公比是3的等比数列， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以
.
综上 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形、 平面 分别为棱
的中点（1）证明： 平面 ;
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题意易知 ，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意， 两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线 的方向向量与平面
的法向量,再通过空间角的向量求解即可.
【小问1详解】
分别为 的中点
为正方形
平面 平面
平面 .
【小问2详解】
由题知 平面
建立如图所示的空间直角坚标系，，则 ,
, , ,
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)
则 ,令 则 ,
设直线 与平面 所或的角为 ,
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的
列联表：
喜欢跑
不喜欢跑步 合计
步
男生 80
女生 20
合计
的
已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步 概率为0.6．（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运
动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
附： ，其中 ．
【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据卡方计算公式求解卡方，即可与临界值比较求解，
的
（2）根据分层抽样比求解抽取人数，即可利用超几何分布 概率公式求解概率，进而得分布列求解.
【小问1详解】
由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，
故喜欢跑步的人有 （人），不喜欢跑步的人有 （人）．
喜欢跑 不喜欢跑 合
步 步 计
男
80 60 140
生
女
40 20 60
生
合
120 80 200
计
∴ ， ， ， ，
，
故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关．
【小问2详解】按分层抽样，设女生 名，男生 名， ，解得 ， ，
∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，故 ，1，2．
， ， ，
故X的分布为：
0 1 2
∴ ．
18. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， .
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对 进行 和 的分类讨论导数正负
即可得单调性.
（2）证 ，故问题转化成证
，接着构造函数 研究其单调性和最值即可得证.
【小问1详解】由题函数定义域为 ， ，
故当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，令 ，
则 时， ； 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上，当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递增，在
上单调递减.
【小问2详解】
由（1）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 上恒成立，
故证 证 ，
即 ，
令 ，则 ，
故当 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，故 ，所以当 时， .
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当 时，
可将问题转化成证 ，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，
利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
19. 已知双曲线 的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为 ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若直线 与 的右支及渐近线的交点自上而下依次为 ，证明： ；
（3）求二元二次方程 的正整数解 ，可先找到初始解 ，其中
为所有解 中的最小值，因为 ，所以 ；因为
，所以 ；重复上述过程，因为
与 的展开式中，不含 的部分相等，含 的部分互为相反数，故可设
，所以 ．若方程 的正整数解
为 ，且初始解 ，则 的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）为定值1，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据实轴长和顶点到渐近线的距离求解即可；（2）将 转化为线段 的中点重合，结合韦达定理求解即可；
（3）知识迁移，类比二元二次方程 的正整数解 ，求方程 的正整数解，然后将
的面积表示出来即可.
【小问1详解】
由题意 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 ；
【小问2详解】
由题意直线 的斜率不为0，设直线 ，因为直线 与 的右支交于两点，所以 ，
联立 得 ，
所以 ，且 ，即 ，
联立 得 ，所以 ，所以 ，即线段 的中点重合，所以 ．
【小问3详解】
由题意得方程 的初始解为 ，则根据循环构造原理得
，
从而 ，
记 ，则 ，设 的夹角为 ，
则 的面积
，
令 ，
则
，于是 的面积为定值1．
【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，将学习过的知识方法迁移到新的问
题中.
