文档内容
120
2023级高二年级第一学期阶段考试 数学科试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若 ， ， ，则点A到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面 ，其中点 ，法向量 ，则下列各点中不在平面 内
的是（ ）
A． B． C． D．
6．设直线 ， 的斜率和倾斜角分别为 ， 和 ， ，则“ 是“ ”的（ ）
第 1 页 共 10 页120
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图， 是四面体 的棱 的中点，点 在线段 上，点 在线段
上 ， 且 ， 设 向 量 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
8．设 ，若 ，则实数 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得3分．
9．已知随机事件 、 发生的概率分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 与 互斥，则
B．若 与 相互独立，则
C．若 ，则事件 与 相互独立
D．若 ，则
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若 是空间任意四点，则有
B．若直线 的方向向量与平面 的法向量夹角等于 ，则直线 与平面 所成的角等于
C．已知向量组 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
D．对空间任意一点 与不共线的三点 ，若 （其中 ），
第 2 页 共 10 页120
则 四点共面
11．如图，在多面体 中， 平面 ，四边形 是正方形，且 ，
， 分别是线段 的中点， 是线段 上的一个动点（含端点
），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为
C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，直线 与平面 所成的角逐渐增大
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知 ，则 ．
13．求经过 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ．
14．已知四边形ABCD为平行四边形， ， ， ，现将 沿直线BD翻折，
得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为
．
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．本小题满分13分
如图，在空间四边形 中， ，点 为 的中点，设 .
（1）试用向量 表示向量 ；
（2）若 ，求 的值.
第 3 页 共 10 页120
16．本小题满分15分
为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构
从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出
人，并将这 人按年龄分组，记第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组
，第 组 ，得到如下频率分布直方图：
（1）求出频率分布直方图中的 值和这 人的年龄的中位数及平均数；
（2）从第 组中用分层抽样的方法抽取 人，并再从这 人中随机抽取 人进行电话回访，求这两
人恰好属于同一组别的概率.
17．本小题满分15分
设 三个内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）设 为锐角三角形， 是边 的中点，求 的取值范围.
18．本小题满分17分
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 中点，点 在 上，且 .
第 4 页 共 10 页120
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由.
19．本小题满分17分
已知函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使得对 内的任意 ，都有 ，则
称 是“反比例对称函数”．设 ．
（1）判断函数 是否为“反比例对称函数”，并说明理由；
（2）当 时，若函数 与 的图像恰有一个交点，求 的值；
（3）当 时，设 ，已知 在 上有两个零点 ，证明： ．
2023级高二年级第一学期阶段考试参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D A B D C A ABC AC ACD
二．填空题
12． ； 13． 或 ； 14． 。
三．解答题
15．本小题满分13分
第 5 页 共 10 页120
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为点E为 的中点，所以
.
（2）因为 ， ，
所以
=
16．本小题满分15分
【详解】（1）由频率分布直方图性质知： ，解得： ；
， ， 中位数位于 ，设中位数为
，则 ，解得： ，即中位数为 ；
平均数为 .
（2） 第 组的频率之比为 ， 抽取的 人中，第 组应抽取 人，记为 ；第
组应抽取 人，记为 ，则从 人中随机抽取 人，有 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共 个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有
第 6 页 共 10 页120
， ， ， ，共 个基本事件；
两人恰好属于同一组别的概率 .
17．本小题满分15分
【详解】（1）因为 ，所以利用正弦定理可得
，又 为三角形内角， ，
所以 ，可得 ，因为 ，所以 ；
（2） ， ；由正弦定理 ，
则 ，
又 为锐角三角形，则 ，得 ，则 ，
故 , ,
，
即 ，二次函数的开口向下，对称轴为 ， 在 ， 单调递减，
故 的取值范围 , ，即 ．
18．本小题满分17分
【详解】（1）在 中， 所以 ，即 .又因为
，在平面 中， ，所以 平面 .
第 7 页 共 10 页120
（2）因为平面 平面 ，平面 平面
平面 ，所以 平面 ，由 平面
，得 .由（2）知 ，且已知 ，故以A为原点，建立
如图空间直角坐标系 ，则 ， .所以
，因为 为 中点，所以
.
由 知， .
设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 .于
是 .由（1）知 平面 ，所以平面 的法向量为 .
所以 ，由题知，二面角 为锐角，所以其
余弦值为 ；
（3）设 是线段 上一点，则存在 使得 .因为 ，
所以 .因为 平面 ，所以 平面 ，当
且仅当 ，即 .即 .解得 .因
第 8 页 共 10 页120
为 ，所以线段 上不存在 使得 平面 .
19．本小题满分17分
【详解】（1） 是“反比例对称函数”，理由如下：
由题可知 ，可知 ，所以 ，
故 是“反比例对称函数”.
（2）由题可知， ，此时 ，因为函数 与 的图像恰有一个交点，即
有一个解，得 ，令
，得 仅有一个解，显然 ，
因为 ，则有 ，要使 仅有一个解，只需 ，或 （舍）
所以 .
（3）不妨先设 ，由题可知 ，
显然 ，已知 有两个零点 ，则两个零点满足
，此时 ，即，函数 与函数 ，
的两个交点横坐标满足 ；可知
利用复合函数单调性可知，当 时， 单调递
第 9 页 共 10 页120
增； 时， 单调递减；由对勾函数性质可知 ，在 时，此时
单调递减；在 时，此时 单调递増，得两函数示意图如右图。
当 ，此时 ，相当于函数 ，故所
有的横坐标缩小为原来的 倍，故两函数新的交点横坐标会相对于开
始变小如右图所示，故 .
第 10 页 共 10 页
