文档内容
潮州市 2024—2025 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答素，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求
作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.
一､选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题）
（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 已知点 和点 ，则直线 的倾斜角 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系 即可求得结果.
【详解】因为 ，且 ，所以 的倾斜角
故选：B
2. 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则正整数 的值为（ ）.
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列求和公式结合等差数列性质即可求解；【详解】因为 ，所以 ，
所以 ,
所以 ，所以 ，
故选：D
3. 若椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出 值.
【详解】依题意， ，所以 .
故选：D
4. 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，得到 ，求解即可；
【详解】由 ，得 ，即 ，解得 .
故选：A
5. 已知点 和点 ，则以 为直径的圆的标准方程是（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中点坐标公式求得圆，两点间距离公式求得半径，即可求解
【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心 .直径 .
故以 为直径的圆的标准方程为 .
故选：C
6. 正方体 的棱长为 为 的中点，则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解.
【详解】建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 在 方向上的投影向量的模为 ，所以点 到直线 的距离 .
故选：B.
7. 已知双曲线 的一条渐近线为 ，过双曲线 的右焦点 作 轴的
垂线，交双曲线 于 两点，则弦 的长度为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线方程求出 可得双曲线C的右焦点为 ，则可求出 的坐标，从
而可得答案.
【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，
同时平方得 ，
又双曲线中 ，故 ，解得 或 （舍去），
所以双曲线 ，
所以双曲线C的右焦点为 ，
右焦点 作 轴的垂线，交双曲线 于 两点，
则 ，
故弦 的长度为 .故选：A.
8. 记数列 的前 项和为 ，若数列 是公差为 的等差数列，则 的值为（ ）
A. 18 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列通项公式求得 ，再由 与 的关系即可求解；
【详解】∵ ，∴ ，
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ，∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，整理得： ，即 ，
∵ ，∴ …… 2，∴
故选：B
（二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题
全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 已知点 和圆 ，下列说法正确的是（ ）
A. 圆心 ，半径为
B. 点 在圆 外
C. 过点 且与圆 相切的直线有且只有一条D. 设点 是圆 上住意一点，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出 并和半径比较即可求解，对
于D选项，根据 的最小值为 即可求解.
【详解】圆Q： 的圆心 ，半径为 ，选项A正确；
因为 ，
所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误；
设点M 是圆Q上任意一点，
由题意可知 的最小值为 ，选项D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在三棱柱 中， ，
分别是 上的点，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】【分析】设 ， ， ，先求出 ， ，根据空间向量的运算以及数量
积的运算法则判断AB；根据空间向量的加减运算判断C；将 两边平方化简后可判断
D.
【详解】设 ， ， ，因为 ，
， ，所以 ， .
对于A､B选项，因为 ，
，
所以 ，所以 与 不垂直，即B错误；
因为 ，所以 ，
， ，
所以 ，故A正确；
对于C选项，因为 ， ，
所以 ，
，
所以 ，故C错误；
对于D选项，，
所以 ，故D正确.
故选：AD.
11. 设 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交
于 两点，则（ ）
A. B. 以 为直径的圆与 轴相切
C. D. 三角形 的面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抛物线焦点坐标求出 可判断A；求出圆心坐标与圆的半径可判断 B；利用焦半径公式
可判断C；求出点 到直线 的距离，结合三角形面积公式判断D.
【详解】A选项：因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，所以A选项正确；
则抛物线 的方程为 .设 .
B选项：因为 ，因为 ，所以MF的中点为 ，
所以点A到y轴的距离为 ，
因为直径 ，所以半径 ，所以
所以，以MF为直径的圆与y轴相切，B选项正确.C选项：由 消去 ，并化简得 ，所以 ，
因为直线 过抛物线 的焦点 ，
所以 ，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，D选项错误.
故选：ABC.
二､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等比数列 的公比为3，记其前 项和为 ，则 __________.
【答案】82
【解析】
【分析】利用等比数列的前 项和公式 即可求解.
【详解】因为等比数列 的首项 ，所以 .
故答案为：82.
13. 直线 被圆 截得的弦 的长为 ，则实数 的值为
__________.
【答案】4或-6
【解析】
【分析】由直线与圆相交，弦长公式求解即可；
【详解】将圆的方程化为 ，所以圆心 ，半径为 ，
所以弦心距 ，
因为弦长为 ，所以 ，即 ，
解得 或 .
故答案为：4或-6.
14. 椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上任一点，且 最小
值为 ，则椭圆 的离心率是__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用基本不等式及椭圆的定义，进行代换，得到答案.
【详解】由基本不等式及椭圆的定义可知 ，所以 当且仅当
由题意知 ，解得
所以 ，所以 ,
故答案为：
三､解答题：本题共5小题，第15题13分，第16､17题每题15分，第18､19题每题17分，
共77分；解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15. 已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列性质，，化简得到原等差数列公差与，得到答案.
（2）列出数列 的前n项和为 ，进行代换得到题干要求式子，进行求和，化
简得到答案.
【小问1详解】
∵等差数列 中， 成等比数列，
∴ ，∴化简得 ，∵ ，解得 ，
所以数列 的通项公式为: .
【小问2详解】
数列 的前n项和为 ，
所以 ，所以
,
所以答案为： .
16. 四边形 的四个顶点坐标分别为 .
（1）求边 的垂直平分线的方程；
（2）若四边形 为平行四边形，求顶点 的坐标及四边形 的面积.
【答案】（1）
（2） ，13
【解析】
【分析】（1）由 坐标求出BC的中点为 ，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，
最后由直线的点斜式即可求解；
（2）由四边形 为平行四边形可得 ，联立方程组即可求得顶点 的坐标，由点
到直线的距离公式即可求得点 到直线BC的距离，根据面积公式即可求解.
【小问1详解】因为 ，所以边BC的中点为 ，
又因为边BC的斜率为 ，
所以边BC的垂直平分线的斜率为 ，
所以边BC的垂直平分线的方程为 ，
化简得 ；
【小问2详解】
因为四边形 为平行四边形，顶点 ，
所以 ，且 ，
联立，解得 ，
所以顶点 .
因为边BC的斜率为 ，
所以直线BC的方程为 ，
化简得 ，
所以点 到直线BC的距离为 ，
又 ，
所以平行四边形 的面积为
17. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，且 ，，点 在 上，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直判定定理先得 平面 ,进而得到结论.
(2) 因为 底面 ， ,所以以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量
求法即可解得结果.
【小问1详解】
证明： ， ，所以 ，
因为 底面 ，所以 ，
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
【小问2详解】
解：因为 底面 ， ，所以，分别以 所在直线为 轴， 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由 ，
可得： ， ， ， ，
所以 ， ，
因为点E在CD上，且 ，
所以 ，所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ， ，即 ， ，
，
令 ，则 ， ， ，
设直线BE与平面 所成的角为 ，
，直线BE与平面 所成角 的正弦值为 .
18. 已知数列 的首项 ，且满足 .
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ，求满足条件的最大整数 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）12
【解析】
【分析】(1)将等式 两边同时取倒数，进行化简即可得证；
(2)利用(1)中的结论即可求出数列 的通项公式；
(3)根据数列 的通项公式，写出新的数列 的通项公式，利用裂项相消法化简，再写出前 项和
，解关于 的不等式即可求解.
【小问1详解】
证明：因为数列 满足 ，
所以 ，即 ，
又由 ，所以 ，所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列；
【小问2详解】
由(1)可知数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以数列 的通项公式为 ；
【小问3详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
设数列 的前 项和为 ，
所以
，
若 ，即 ，解得 ，
因为n是整数，
所以满足 的最大整数 的值为12.
19. 椭圆 的一个焦点为 ，且椭圆 经过点 .（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的右顶点为 ，点 是椭圆 上异于点 的不同两点.
（i）若点 不共线，求三角形 的面积的最大值；
（ii）若直线 与 的斜率分别记为 ，且 ，判断直线 是否过定点，若是，求出定点
坐标，若不是，说明理由.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）直线 过定点 .
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义：到两个焦点的距离之和为定长，列出等式，即可求得结果.
（2）（i）写出三角形的面积表达式，进而求出面积最大值.
（ii）分情况讨论直线斜率不存在时，斜率存在时设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，得到
韦达定理 ， ，并表示 ,得到 的关系式，即可判断是否过定
点.
【小问1详解】
椭圆 ： （ ）的一个焦点为 ，
则另一个焦点坐标 为，且椭圆 经过点 .
所以 ，所以 ，
所以 ，故椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
椭圆 的右顶点 ，设 ， .
（i）三角形 的面积为 ，
因为 ，
所以
三角形 的面积的最大值为 .
（ii）当直线 的斜率不存在时， ，不符合题意；
故可设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
且满足 .
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
化简得 ，∴ ，
化简得 ，
解得 或 .
易知，当 时， ，此时直线 过右顶点 ，不符合题意.
①当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，与右顶点 重合，
不符合题意.
②当 时，代入 ，解得 （ ）.
此时，直线 方程为 ，过定点 .
.
综上所述：直线 过定点
【点睛】关键点点睛: 对于恒过定点问题：当斜率存在时设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，
得到韦达定理 ， ，并表示 ,得到 的关系式，即可判断是否
过定点，再考虑斜率不存在时的情况.
