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参考答案
一，选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C A C B D
8.解：函数y=x−[x]−1+log x(a>0,a≠1)有且仅有4个零点，
a
1−x,0<x<1,
{
2−x,1⩽x<2,
3−x,2⩽x<3,
即y=log x的图象与y=1+[x]−x= 的图象有且仅有4个公
a 4−x,3⩽x<4,
5−x,4⩽x<5,
.........
共点，
作出y=1+[x]−x的图象，
易知当0<a<1时，y=log x与y=1+[x]−x的图象最多有1个公共点，故
a
a>1，
{log 4≤1,
作出函数y=log x的大致图象，结合题意可得 a 解得4≤a<5．
a log 5>1,
a
故选：D．
二、多选题
9. 【答案】ACD
【详解】过点 的直线l与直线 平行，
设直线l方程为 ， 代入可得 ，解得： ,所以直线l的方程为：
，A正确，
直线l的斜率 ，直线l的倾斜角为 ，则B错误，
l与直线 的距离为 ，C正确，
过点P且与直线l垂直的直线可设为： ， 代入可得 ，解得： ,则过点
第1页，共5页P且与直线l垂直的直线为： ，D正确.
10.【答案】BC 【详解】在正方体 中，由于点 是侧面 的中心，
所以 ，
所以 ， ，即 ．
11. 【答案】ABD
【详解】显然 ，
当直线 的斜率为0时，直线 与抛物线 只有1个交点，不合要
求，
设直线 为 ，联立 得 ，
，设 ，则 , ,
设 ，则 ，
其中 ，所以 ，
A选项，点 到 轴的最短距离为 ，显然当 时，取得最小值，
故 ，解得 ，A正确；
B选项，由焦半径公式得 ， ，
其中 ， ，所以 ，
C选项， ， ，
第2页，共5页故 ， ， ，C错误.
D选项，由于 ， ，消去 可得 ，
故点 的轨迹方程是 ，D正确；
三、填空题
12. 【答案】2
【详解】 ，则 .
13. 【答案】
【详解】因为圆M与直线. 相切，
所以点 到直线： 的距离即为圆M的半径，
所以 ，圆C的面积为 .
14. 【答案】
【详解】由题设数列的公比为 ，则 ，整理得 ，
当 时，易知 ，符合题意；但当 时， ，
解得 ，且 ,则公比 的取值范围是 .
四、解答题
15. 解：(1)由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
所以sin(A+B)=2sinCcosC，即sin(π−C)=2sinCcosC，
1 π
因为sinC≠0，所以cosC= ，又C∈(0,π)，所以C= ；
2 3
由余弦定理得： ，即 ，
(2) c2=a2+b2−2abcosC 1=a2+b2−ab
1 1 √3 √3 √3
所以1≥2ab−ab，即0<ab≤1，又S = absinC≤ × = ，∴S ∈(0, ].
△ABC 2 2 2 4 △ABC 4
第3页，共5页16. 解： 因为在直三棱柱中 ，则四边形 是正方形，故 ，
又在直三棱柱 中， 平面ABC， 平面ABC，所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，故 ，
由 ， ，且 ， ， 平面 ，得 平面
以B为原点，BA，BC， 所在直线分别为x，y，z轴，建空间直角坐标系，
则 ， ， ， 则 ， ，
设平面 的法向量 ，由 ， ，得 ，
取 ，则 ，又 ， ，
设平面 的法向量 ，由 ， ，得 ，
取 ，则
设平面 与平面 的夹角为 ，由图像可知， 为锐角，
则
17. (1)
第4页，共5页(2) ；最大值为
【详解】（1）设数列 的公差为 ，则 ， ，解得 ，
则数列 的通项公式为 .
（2） ， ，
因二次函数 在 处取最大值，故 的最大值为 .
18. (1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）根据题意作图如下：
由题意知 .因为点 到直线 的距离为 ，所以 ，
解得 或 ，又因为 ，所以 ，所以抛物线 的标准方程为 .
（2）根据题意作图如下：
将 代入 ，得 ，
则 ，
所以 .
（3）证明：由 则 又
所以 所以
设直线l的方程为 ，联立方程组 ，则
第5页，共5页当 时，有 ，得
所以直线l的方程为 ，所以直线 过定点
19．(1) 的方程为 ；.
(2)（i） ；（ii） .
【详解】（1）由题意， ，则 ， ，
则 的方程为 ，短轴长 .
（2）（i）当直线 斜率不存在时， ， ，不合题意，
故设直线 的方程为： ， ，
联立 ，得 ， ，
所以 ， ，
，由 得 ，解得 ，
所以直线 的方程为： .
（ii）由于点 在 上，故设 ，
由对称性，设 ， ， ，
则点 到 的距离
第6页，共5页其中 ，
当 时， ，
.
所以△ 面积的最大值为 .
第7页，共5页
