文档内容
重庆市乌江新高考协作体 2024 届高考模拟监测（二）
数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．“ ，且 ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．复数 的实部为（ ）
A．1 B．3 C． D．
3．2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨
盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾
文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近
4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史
学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4
个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法
种数为（ ）
A．96 B．144 C．240 D．360
4．若正四面体 的棱长为 ，M为棱 上的动点，则当三棱锥 的外接球的体积最小
时，三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．假设变量 与变量 的 对观测数据为 ，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数 的最小二乘估计 ，即求使 取最小
值时的 的值，则（ ）
A． B．
C． D．
6．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆 ： ，过点 的直线 与 轴交于点 ，与圆 交于 ， 两点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设 是△ABC的外心，点 为 的中点，满足 ，若 ，则 面
积的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知 为全集且元素个数有限，
对于 的任意一个子集 ，定义集合 的指示函数 若 ，则（ ）
注： 表示 中所有元素 所对应的函数值 之和（其中 是 定义域的子集）.A．
B．
C．
D．
10．已知圆 ，圆 ，则（ ）
A．两圆的圆心距 的最小值为1
B．若圆 与圆 相切，则
C．若圆 与圆 恰有两条公切线，则
D．若圆 与圆 相交，则公共弦长的最大值为2
11．已知集合 ，集合 ，若 有且仅有3个不同元
素，则实数 的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在四边形 中， ，点 是四边形 所在平面上一点，满足
.设 分别为四边形 与 的面积，则 .
13．若关于 的方程 有解，则实数m的最大值为 .
14．四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ，且 ， ．四棱锥
的各个顶点均在球O的表面上， ， ，则直线l与平面 所成夹角的范围为
．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数 ．(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
16．在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)射线 绕 点旋转 交线段 于点 ，且 ，求 的面积的最小值.
17．某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记
为系统 和系统 ），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出
现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统 和 分别
进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2
次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮
试验，若系统 不出现故障且系统 出现故障，则系统 得1分，系统 得-1分；若系统 出现故障且系
统 不出现故障，则系统 得-1分，系统 得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统
均得0分.系统 出现故障的概率分别记为 和 ，一轮试验中系统 的得分为 分.
(1)求 的分布列；
(2)若系统 和 在试验开始时都赋予2分， 表示“系统 的累计得分为 时，最终认为系
统 比系统 更稳定”的概率，则 ， ，其中
.现根据 的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若 ，则先启动系统 ；若 ，则先启动系统 ；若 ，则随机启动两个
系统中的一个，且先启动系统 的概率为 .
①证明： ；
②若 ，由①可求得 ，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个
自动驾驶系统的概率.
18．双曲线 的焦点为 （ 在 下方），虚轴的右端点为 ，过点 且垂直于
轴的直线 交双曲线于点 （ 在第一象限），与直线 交于点 ，记 的周长为 的周
长为 ．
(1)若 的一条渐近线为 ，求 的方程；
(2)已知动直线 与 相切于点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴， 轴于 两点， 为线段
上一点，设 为常数．若 为定值，求 的最大值．
19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是
个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的
弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的
事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在
空间直角坐标系下，椭球面 ，这说明椭球完全包含在由平面
所围成的长方体内，其中 按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面 的截痕是椭圆 .
(1)已知椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ．过椭圆 的左焦点
作直线 与椭圆 相交于 两点，过点 分别作椭圆的切线，两切线交于点 ，求△ABM面积的最
小值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理
用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果
截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当 时，椭球面 围成的椭球是一个
旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
