2005年河南高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_河南

2005 年河南高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 P(AB)  P(A)P(B) S  4R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)  P(A)P(B) 球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V  R3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k) CkPk(1P)nk n n 一．选择题 （1）设I 为全集，S、S 、S 是I 的三个非空子集，且S S S  I ，则下面论断正 1 2 3 1 2 3 确的是 （A）C S （S S ） （B）S （C S C S） I 1 2 3 1 I 2 I 3 （C）C S C S C S ） （D）S （C S C S） I 1 I 2 I 3 1 I 2 I 3 （2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （A）8 2 （B）8 （C）4 2 （D）4 （3）已知直线l过点（2，0），当直线l与圆x2  y2  2x有两个交点时，其斜率k的取值 范围是 （A）（2 2，2 2） （B）（ 2，2） 2 2 1 1 （C）（ ， ） （D）（ ，） 4 4 8 8 （4）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方 第1页 | 共12页形，且ADE、BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 2 3 （A） （B） 3 3 4 3 （C） （D） 3 2 x2 （5）已知双曲线  y2 1 (a 0)的一条准线与抛物线 y2  6x的准线重合，则该双 a2 曲线的离心率为 3 3 6 2 3 （A） （B） （C） （D） 2 2 2 3  1cos2x8sin2 x （6）当0 x  时，函数 f(x)  的最小值为 2 sin2x （A）2 （B）2 3 （C）4 （D）4 3 （7）设b 0，二次函数y  ax2 bxa2 1的图像为下列之一 则a的值为 1 5 1 5 （A）1 （B）1 （C） （D） 2 2 （8）设0 a 1，函数 f(x) log (a2x 2ax 2)，则使 f(x)0的x的取值范围是 a （A）(,0)（B）(0,) （C）(,log 3) （D）(log 3,) a a y  x1 （9）在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的面积为 y  3x 1  3 3 2 （A） 2 （B） （C） （D）2 2 2 AB （10）在ABC中，已知tan sinC，给出以下四个论断： 2 第2页 | 共12页①tanAcotB 1 ②0sin AsinB  2 ③sin2 Acos2 B 1 ④cos2 Acos2 B sin2C 其中正确的是 （A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③ （11）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 （A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对 2 i3 （12）复数 = 1 2i （A）i （B）i （C）2 2 i （D）2 2 i 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3．本卷共10小题，共90分。 二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 （13）若正整数m满足10m1  2512 10m，则m = 。(lg2 0.3010) 1 （14）(2x )9的展开式中，常数项为 。（用数字作答） x （15）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH  m(OAOBOC)， 则实数m = （16）在正方形ABCD A'B'C'D'中，过对角线BD'的一个平面交AA'于E，交CC'于F， 则 ① 四边形BFD'E一定是平行四边形 ② 四边形BFD'E有可能是正方形 ③ 四边形BFD'E在底面ABCD内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD'E有可能垂直于平面BB'D 以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号） 三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 第3页 | 共12页 设函数 f(x) sin(2x) (0),y  f(x)图像的一条对称轴是直线x  。 8 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数y  f(x)的单调增区间； （Ⅲ）证明直线5x2yc 0与函数y  f(x)的图像不相切。 （18）（本大题满分12分） 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC， 1 DAB 90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB 2 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。 （19）（本大题满分12分）   设等比数列 a 的公比为q，前n项和S 0 (n 1,2, )。 n n  （Ⅰ）求q的取值范围； 3   （Ⅱ）设b  a  a ，记 b 的前n项和为T ，试比较S 与T 的大小。 n n2 2 n1 n n n n （20）（本大题满分12分） 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒 种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每 个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的 数学期望。（精确到0.01） （21）（本大题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于 A、B两点，OAOB与a (3,1)共线。 （Ⅰ）求椭圆的离心率；    （Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM OAOB (,R)，证明2 2为定值。 第4页 | 共12页（22）（本大题满分12分） （Ⅰ）设函数 f(x)  xlog x(1x)log (1x) (0 x 1)，求 f(x)的最小值； 2 2 （Ⅱ）设正数 p , p , p , , p 满足 p  p  p   p 1，证明 1 2 3  2n 1 2 3  3n p log p  p log p  p log p   p log p  n 1 2 1 2 2 2 3 2 3  2n 2 2n 参考答案 一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分） 1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.   解：（Ⅰ） x  是函数y  f(x)的图像的对称轴，sin(2 )  1,  8 8   3   k ,kZ. 0,  .  4 2 4 3 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知  ,因此y sin(2x ). 4 4 由题意得  3  2k  2x  2k ,kZ. 2 4 2 3  5 所以函数y sin(2x )的单调增区间为[k ,k ],kZ. 4 8 8 3 3 （Ⅲ）证明： | y||(sin(2x ))||2cos(2x )| 2,  4 4 5 所以曲线y  f(x)的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线5x2yc 0的斜率为  2， 2 3 所以直线5x2yc 0与函数y sin(2x )的图像不相切. 4 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象 能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一： （Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， 第5页 | 共12页∴由三垂线定理得：CD⊥PD. 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD. 又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA， 则∠PBE是AC与PB所成的角. 连结AE，可知AC=CB=BE=AE= 2 ，又AB=2， 所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90° BE 10 在Rt△PEB中BE= 2 ，PB= 5， cosPBE   . PB 5 10 AC与PB所成的角为arccos . 5 （Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN. 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角. ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM. AC 在等腰三角形AMC中，AN·MC= CM2 ( )2 AC ， 2 3  2 2 6 AN2 BN2  AB2 2 AN   . ∴AB=2，cosANB    5 5 2ANBN 3 2 2 故所求的二面角为arccos( ). 3 方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间 直角坐标系，则各点坐标为 1 A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1， ). 2 （Ⅰ）证明：因AP (0,0,1),DC (0,1,0),故APDC 0,所以AP  DC. 由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：因AC (1,1,0),PB (0,2,1), 第6页 | 共12页故| AC | 2,| PB| 5,ACPB  2,所以 ACPB 10 cos AC,PB   . | AC || PB| 5 （Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在R,使NC MC, 1 1 NC (1x,1 y,z),MC (1,0, ),x 1,y 1,z  .. 2 2 1 4 要使AN  MC,只需AN MC 0即x z 0,解得 . 2 5 4 1 2 可知当 时,N点坐标为( ,1, ),能使AN MC 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时,AN ( ,1, ),BN ( ,1, ),有BN MC 0 5 5 5 5 由AN MC 0,BN MC 0得AN  MC,BN  MC.所以ANB为所求二面角的平面 角. 30 30 4 | AN | ,| BN | ,AN BN   .  5 5 5 AN BN 2 cos(AN,BN)    . | AN || BN | 3 2 故所求的二面角为arccos( ). 3 19． 本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分. 解：（Ⅰ）因为{a }是等比数列，S 0,可得a  S 0,q  0. n n 1 1 当q 1时,S  na 0; n 1 a (1qn) 当q 1时,S  1 0, n 1q 1qn 即 0,(n 1,2, )  1q 1q 0, 上式等价于不等式组： ,(n 1,2,  ) ① 1qn 0 1q 0, 或 ,(n 1,2,  ) ② 1qn 0 解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1