文档内容
成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届八省联考模拟
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的．
1．化简 等于
A．1 B． C． D．
2．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文
明文（解密），已知加密规则为：明文 对应密文 ．例如，
明文 对应密文 ．当接收方收到密文 时，则解密得到的明文为
A． B． C． D．
3．圆 和圆 的公切线有
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
4．已知 为 的一个内角，且 ，则
A． B． C． D．
5．设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
6．已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 等于
A． B． C． D．
第1页 共4页 命题/审题：石室中学文庙校区高2025届数学备课组7．设集合 ，将 中的元素按照从小到大的顺序排列，前 个数的
和等于
A． B． C． D．
8．已知 ， ，则
A． B．
C． D． 但 和 的大小关系无法确定
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 的极差为 ，平均值为 ，中位数为 ，方差为 ． （
），其中 ． 的极差为 ，平均值为 ，中位数为 ，方差为
，则
A． B．
C． D．
10．已知 ，则
A． 的最小正周期为
B．存在 ，使得
C．若 为奇函数，则 的最小值为
D．若 （ ），则
11．设 中， ．下列命题正确的有
A．若 ，则 的周长的取值范围是
B．若 ，则 的面积的最大值是
C．若 ，则 的周长的取值范围是
D．若 ，则 的面积的最大值是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12． 的展开式中 的系数是 ．
13．椭圆 （ ）的左右焦点分别为 、 ，焦距为 ,若直线
第2页 共4页 命题/审题：石室中学文庙校区高2025届数学备课组与椭圆的一个交点 满足 ，则该椭圆的离心率等于
．
14．已知 ， 且 ，若当 取最小值时有 ，则 的取
值范围是 ．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红
色卡片和蓝色卡片的概率各为 ．某人连续购买了 张卡片．假设每次购买得到的卡片的
颜色互不影响．
（1）此人至少得到一张红色卡片的概率；
（2）若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率．
16．（本小题15分）设 ．
（1）当 时，求 的极小值；
（2）若 的极大值为 ，求 的值．
第3页 共4页 命题/审题：石室中学文庙校区高2025届数学备课组17．（本小题15分）如图，在斜三棱柱 中，侧面 底面 ，侧棱
与底面 成 的角， ．底面 是边长为 的正三角形，其重心为 点，
是线段 上一点，且 平面 ．
A
1 B
1
（1）求 的值；
C
1
（2）求平面 与底面 所成的二面角的
正切值． E
A
B
G
C
18．（本小题17分）已知数列 满足 ， ．
（1）设 ，求 的值，使得对于任意 且 ，都有 ；
（2）证明： ．
19．（本小题17分）设动点 到点 的距离与到直线 的距离之积等于 ，动点
的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 与 轴的交点的坐标．
（2）过点 作不与坐标轴垂直的直线 ．
（i）判断直线 与曲线 的交点的个数，并证明你的结论；
第4页 共4页 命题/审题：石室中学文庙校区高2025届数学备课组（ii）定义平面上 个点 的重心 为满足 的点，若直线
与曲线 的所有交点的重心 到点 的距离等于 ，求 的横坐标．
（注：一元 次方程 （ ）有 个复数根 ，
且 ， ．）
第5页 共4页 命题/审题：石室中学文庙校区高2025届数学备课组
