文档内容
泸县五中高2023 级高二下期开学考试
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150
分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正
确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．已知直线斜率为 ，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系 中，点 关于 平面对称的点为（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙两地一周每天的最高气温 单位： 如下：
甲：5，4，7，6，9，7，5；
乙：6，4，5，6，6，6，5；
则以下关于甲、乙两地最高气温比较的统计结论错误的是（ ）
A．甲地最高气温的平均数大于乙地最高气温的平均数
B．甲地最高气温的中位数大于乙地最高气温的中位数
C．甲地最高气温的极差大于乙地最高气温的极差
D．甲地最高气温的方差大于乙地最高气温的方差
4．双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 为原点，点 ，以 为直径的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
6．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机
抽取一个袋子，设事件 为“所抽袋子里有红球”，事件 为“所抽袋子里有白球”，事件 为“所抽袋子里有黑
球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立C．事件 与事件 相互对立 D．事件 与事件 相互独立
7．如图，在正方体 中，E是棱CD上的动点．则下列结论不正确的是（ ）
A． 平面
B．
C．直线AE与 所成角的范围为
D．二面角 的大小为
7题图
8．已知 是双曲线 的右焦点，过点 的直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，垂
足为 ，且直线 与双曲线 的左支交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
10．若三条直线 可以围成一个三角形，则实数 的值可以
为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
11．已知圆 和直线 ，点P在直线l上运动，直线 、 分别与圆C相切于
点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长 的最小值为
B．四边形 面积的最小值为4
C．当 最小时，弦 所在的直线方程为
D．弦 所在直线必过定点第II卷（非选择题共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再
用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共8个小题，共92分．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．已知 是空间的一组基底，其中 ， ， ．若 四点共面，
则 ．
13．一组数据 的平均数为1，方差为5，记 的平均数为
，方差为 则 .
14．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点，设过点 的
直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ，则直线HN过
定点 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，在长方体 中， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
15题图
16．（15分）
临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有 道题
目，答对 道题则通过面试（前 道题都答对或都答错，第 道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的
概率均为 ，小华答对每道题目的概率依次为 、 、 ，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记
“小明只回答 道题就结束面试”为事件 ，记“小华 道题都回答且通过面试”为事件 ．
(1)求事件 发生的概率 ；
(2)求事件 和事件 同时发生的概率 ；
(3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．17．（15分）
已知圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上.
(1)求圆 的方程；
(2)若圆 与直线 交于两点 ，
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）若在圆C上存在点 ，使四边形 为平行四边形，其中 为坐标原点，求 的值.
18．（17分）
已知 和 为椭圆 上两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 在椭圆 上， 是椭圆 的两焦点，且 ，求 的面积；
(3)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，证明： 为定值．
19．（17分）
已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，且 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 ， 两点（异于点 ）.
（ⅰ）若 ，求 ；
（ⅱ）过点 与直线 垂直的直线交 于 ， 两点，设线段 ， 的中点分别为 ， ， 是坐标
原点，求 面积的取值范围.
