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宁波市 期末九校联考 高二数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1. 下列求导正确的（ ）
A. B.
C. D.
2. 直线 的倾斜角的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数 在 处有极大值，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
4. 已知 是空间的一个基底，则下列向量中与向量 ， 能构成空间基底的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知正项数列 的前 项积为 ，满足 ，则 时的 的最小值为（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
6. 已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ，过点 作垂直于 轴的直线交双曲线 于
两点， 的内切圆圆心分别为 ，则 的周长是（ ）
A. B.
C D.
7. 在如图所示 试验装置中，正方形框 的边长为 2，长方形框 的长 ，且它们所
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学科网（北京）股份有限公司在平面形成的二面角 的大小为 ，活动弹子 分别在对角线 和 上移动，且始终保
持 ，则 的长度最小时 的取值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知 ，方程 有实数根，则 最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知函数 ，则下列选项中正确的是（ ）
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 在的值域为
C. 函数 在点 处的切线方程为
D. 关于 的方程 有 2 个不同的根当且仅当
10. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，下列命题正确的是（ ）
A. 若椭圆 上存在一点 使 ，则椭圆离心率的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司B. 若椭圆 上存在四个点 使得 ，则 的离心率的取值范围是
C. 若椭圆 上恰有 6 个不同的点 ， 使得 为等腰三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是
D. 若任意以椭圆 的上顶点为圆心的圆与椭圆 至多 3 个公共点，则椭圆 的离心率的取值范围是
11. 已知定义域为 上的函数 满足 ，且 ，记 ，则
下列选项中正确的有（ ）
A.
B. 当 时，
C. 当 时，
D.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 和 分别是等差数列 与等比数列 的前 项和，且 ， ， ，
则 _____．
13. 已知底面重合的两个正四面体 和 ， 为 的重心，记 ，
则向量 用向量 表示为_____
14. 已知函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系 中，圆心为 的圆 C 与 y 轴相切，动直线 过点 .
（1）当 时，直线 被圆所截得的弦长为 ，求直线 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）圆 C 上存在点 满足 ，求实数 的取值范围.
16. 已知数列 的前 项和 满足 ，令 .
（1）证明：数列 等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
17. 如图五面体 中，四边形 是菱形， 是以角 为顶角 等腰直角三角形，点 为棱
的中点，点 为棱 的中点
（1）求证： 平面
（2）若点 在平面 的射影恰好是棱 的中点，点 是线段 上的一点且满足 ，求平
面 与平面 所成角的余弦值．
18. 已知 是抛物线 的焦点，过焦点的最短弦长为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过动点 作抛物线 的两条切线，切点为 ， ，直线 与抛物线交于
（ 在第一象限）．
①求证：点 在定直线上；
②记 的面积分别为 ，当 时，求点 的坐标．
19. 对定义在数集 上的可导函数 ，若数列 满足 ，其中 为 的导
函数，则称 为 在 上的“牛顿列”．
（1）若 为 的“牛顿列”， ，求 的通项公式；
（2）若 为 的“牛顿列”，其中 ， ，求证： ，
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（3）若 为 的“牛顿列”，求证： 且 ， ，其中 为
的唯一零点．
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