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哈九中 2024 届高三上学期期中考试数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
Ⅰ卷
一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C.2 D.
3.在等差数列 中，若 ， ，则 （ ）
A.29 B.27 C.24 D.20
4.“ ， ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列命题中，真命题的是（ ）
A.函数 的周期是 B. ，
C.函数 是奇函数 D. 的充要条件是
6.设 ， ， 是 与 的等差中项，则 的最小值为（ ）
A. B.3 C.9 D.
7.已知 中， ， ，点 为 的中点，点 为边 上一动点，则
的最小值为（ ）
A.27 B.0 C. D.
8.在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均
学科网（北京）股份有限公司传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于
，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径.假设某种传染病的基
本传染数 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 个人为第一轮传染，经过一个周期后这 个人
每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数这由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为
（参考数据： ， ）（ ）
A.35 B.42 C.49 D.56
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.数列 满足： ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A.数列 为等比数列 B.
C.数列 是递减数列 D. 的前 项和
10.下列说法正确的是（ ）
A.在 中， ， ， ，若 ，则 为锐角三角形
B.非零向量 和 满足 ， ，则
C.已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
D.在 中，若 ，则 与 的面积之比为
11.已知函数 ，则（ ）
A.若 ，则 B.若函数 为偶函数，则
C.若 在 上单调，则 D.若 时，且 在 上单调，则
学科网（北京）股份有限公司12.已知 ，若 恒成立，则不正确的是（ ）
A. 的单调递增区间为
B.方程 可能有三个实数根
C.若函数 在 处的切线经过原点，则
D.过 图象上任何一点，最多可作函数 的8条切线
Ⅱ卷
三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式 ______.
14.已知 的面积 ， ，则 ______.
15.若 ，则 ______.
16. ， 为一个有序实数组， 表示把 中每个
都变成 ，0，每个0都变成 ，1，每个1都变成0，1所得到的新的有序实数组.例如： ，则
.定义 ， ，若 ， 中有 项为1， 的
前 项和为 ，则 ______.
四、解答题：本题共有6个小题，共70分.
17.设向量 ， ，
（1）若 ，求 的值；
（2）设函数 ，求 的最大值.
18.如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面 ，
，且点 ， 分别为 和 中点.
学科网（北京）股份有限公司（1）求证：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
19.已知数列 满足 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，且 ，求数列 的前 项和 .
20.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为 .已知
（1）
（2）
（3） ，从这三个条件中任选一个，回答下列问题.
（1）求角 ；
（2）若 .求 的取值范围.
21.已知等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ， 的前 项和分别为 ， .若 的公差为整数，且 ，求 .
22.已知函数 ， .
（1）当 时，求 的单调区间；
学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，若不等式 恒成立，求 的取值范围；
（3）证明： .
1——8 DCAACCDB
9——12 AB BD BD ABC
13. 14.2 15. 16.
17.（1）∵ ， ， ，
∴ ，即 ，得 ，
又∵ ，则 ，∴ ，解得 .
（2）
∵ ，则 ，∴ ，当 取得
18.（1）证明：取 的中点 ，连接 、 ，
在 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，可得 且 ，
又因为 为 的中点，所以 且 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）解：因为底面 是菱形，且 ，连接 ，可得 为等边三角形，
又因为 为 的中点，所以 ，则 ，
又由 平面 ，以 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 、 和 轴建立空间
直角坐标系，如图所示，
因为底面 是菱形，且 ， ，
学科网（北京）股份有限公司可得 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
取 ，可得 ， .所以 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19.（1）因为 ，
所以
，所以 .
（2）因为 ，所以当 时， ，得 ；
当 时， ，所以 （ 时也成立）.
因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
，故 .
20.（1）选①，由 可得：
，故有 ，又∵ ，∴ ；
选②，∵ ，
由正余弦定理得 ，∴ ，又 ，∴ ；
选③，∵ ，由正弦定理可得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ .
（2）由余弦定理得 ∵ ，∴ .
又有 ，当且仅当 时取等号，
可得 .即 的取值范围是 .
21.（1）设等差数列 的公差为 ，∵ ，∴ ，
∵ ， ， 成等比，∴ ，
即 ，得 ，解得 或 ，
∴当 时， ；当 时， ；∴ 或 .
学科网（北京）股份有限公司（2）因为等差数列 的公差为整数，由（1）得 ，
所以 ，则 ，
∴ .
①当 为偶数时
.
②当 为奇数时
.
所以当 为正偶数时， ，当 为正奇数时， .
22.（1）当 时， ， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
学科网（北京）股份有限公司（2）由 ，得 ，设 ， ，
当 时， ， ，所以当 时， ，不符合题意，
当 时， ，设 ， ，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 ，当 ，即 时，
因为 ，所以当 时， ，即 ，
此时 单调递增，所以 ，不符合题意.
当 ，即 时， 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，所以 ，符合题意.
综上所述， 的取值范围为 .
（3）由（2）可得当 时， ，即 ，
令 ， ，则 ，
所以 ， ，…， ，
以上各式相加得 ，
即 ，
所以 .
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