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数学参考答案
!!$!!#%&"!!%’&"(#%&%"&%’(%!%)&#故"!#%&"!!%’&""(槡!*+,(-槡#!
! ’"
#!.!!#!%""#(+!#*"#%+!$"(+*!%+/!/!/ % (0#即"#!%""(#槡#!
+
’!1!由题意#设"!2#%槡#"#"!2#槡#"##!%!#槡#"#
! #
则""""(#$(#槡##"#""(槡!%!"#*!槡#*槡#"#(’#"#""(槡!%!"#*!槡#%槡#"#(
! # ! #
#$ #槡# 槡#
!#则#%("#""*"#""(+#则&( ( ( !
! # #% + #
! ! 槡-
+!.!令 %!(’#则!( %’#345’( #
!+ !+ -
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5&6 *#! (5&6 *# %’ (5&6 %#’(345#’(#345#’%!(% !
!+ !+ !+ # -
-!1!充分性’若!#" #因为!$"((#)%!#)#(#所以)#" #因为*%" #所以)#*#则充分
性成立!必要性’当*&(时#!与
"
不一定垂直#则必要性不成立!故选1!
"!$!因为+%+(%*%#所以+*+%+(%*%*%*%(#!%*%"(0#即%*%
0 " ) 0 # 0 " ! # ) 0 ! 0 ! 0
!%*%"/0
(+#则+( ! 0 (!"!
0 #
)!7!将-名志愿者分为!#####且甲(乙两名志愿者不安排到同一个场地#则不同的安排方法
7#7#
有7! + # 1’*7!7!1’()#种!将-名志愿者分为!#!#’#且甲(乙两名志愿者不安排到同
# 1# ’ ’ # ’
#
一个场地#则不同的安排方法有1’*7!7#1’(+#种!故不同的安排方法共有)#*+#(
’ # ’ ’
!!+种!
0!$!令,!-"(.!-%!"%##则.!-"(,!-*!"*##由.!%%’"*.!%#%!"’+#可得,!%%
’*!"*#*,!%#%!*!"*#’+#即,!%%’*!"*,!%#"’2#,!%%’*!"’%,!%#"(
,!%%#"!因为.!-"是定义在!上的减函数#所以,!-"也是定义在!上的减函数#故%%’
! !"# ’ ’
*!(%%##即 %* * (’!因为%)%%##’&#所以’’ #即实数’的取值范围是
# + +
! ’&
%8# !
+
-%#
)-#%-*#%%(2#
,!17!由 (!#可得 由题可知/中只有一个元素!
-#%% -#%%*2#
) )!*
当#(!%+!#%%"(2时#解得%( #此时/( #符合题意+
+ #
)
当#(!%+!#%%"+2时#即%+ #则-(槡%或-(%槡%是方程-#%-*#%%(2的解!
+
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#!$%&
{#{QQABRQSUggggABAAABhCQwFACgOQkgACAagGgAAIsAAByBNABAA=}#}
书书书当-(槡%是方程-#%-*#%%(2的解时#解得%(+#此时/()%!*#符合题意+
)
当-(%槡%是方程-#%-*#%%(2的解时#无解!故%( 或+!
+
!2!$7.!令.!-"( - #则.0!-"( !%- #设切点为 ! -# - 2" #所以切线方程为1% - 2 (
9- 9- 2
9
-2
9
-2
!%- - !%-
2!-%-"#切线过点#!%#2"#代入得2% 2
(
2!%%-"#即方程-#%%-*%(2
9
-2 2
9
-2
9
-2 2 2 2
有两个解#则#(%#%+%+2#解得%,2或%++!故选$7.!
!
!!!17.!设2#"#3#4#5分别为棱67#78 #67#66#77 的中点!图略"#当-( 时#
! ! ! ! ! ! #
点9在线段23上#易知/7#平面:23#又:9%平面:23#所以/7#:9#1正确!
当-(1时#点9在线段67 上#因为67 与平面//:不平行#所以三棱锥:;//9
! ! ! !
的体积不是定值#$错误!
!
当1( 时#点9在线段45上#易知平面/678&平面:45#又:9%平面:45#所
# ! !
以:9&平面/678#7正确!
! !
!
当-( #1(!时#9为67 的中点#如图#三棱锥:;//9与三棱柱/2:;/9"的外
# ! ! ! !
接球相同!在-2/:中#/2(/:(’槡-#:2(’槡##
/:#*/2#%:2# + ’
由余弦定理得345.2/:( ( #所以5&6.2/:( !
#/:$/2 - -
设-2/:外接圆的半径为<#
:2 ’槡#
在-2/:中#由正弦定理得#<( ( (-槡##
5&6.2/: ’
-
-槡#
故-2/:外接圆的半径<( !
#
!-槡#"# +’
设三棱柱/2:;/9"外接球的半径为=#由勾股定理得=#(’#* ( #
! # #
+’
则三棱锥:;//9外接球的表面积+(+!=#(+!/ (0"!#.正确!
! #
’# !#"’ !!"! ’#
!#! !投球+次#恰好投进’个球的概率为7’/ / ( !
0! + ’ ’ 0!
!22 ! ! ! !
!’! !由%*>( #>%% ( #可得% *%( % #
!2! * * * * **! **# **! * * **#
! !" !! !" !! !" !! ! " !22
%*%*%*,*% ( !% * % * % *,* % ( !
! # ’ !22 ’ ’ - - ) ,, !2! !2!
!+!!2#槡’"/!##*8"!设/!-#1"#6!-#1"!由/6的中点为!+#1"#得-*-(0#1
! ! # # 2 ! # !
*1(#1!
# 2
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$%
!"#!$%&
{#{QQABRQSUggggABAAABhCQwFACgOQkgACAagGgAAIsAAByBNABAA=}#}1-#
! %1#(!#
+ ! -#%-#
因为/#6在双曲线上#则0 两式相减得 ! # %!1#%1#"(2#
-# + ! #
# %1#(!#
2+ #
! !
所以? ( #故直线/6的方程为1%1( !-%+"#即-%11*1#%+(2#
/6 1 2 1 2 2
2 2
1-%11*1#%+(2#
2 2
联立方程0-# 消去-得!+%1#
2
"1#*#1
2
!1#
2
%+"1*+%!1#
2
%+"#(2#
%1#(!#
2+
显然1#*+#此时#(%#1!1#%+"&#%+/!+%1#"/%+%!1#%+"#&+2#
2 2 2 2 2
令’(1##可得’#%)’*!#+2#所以’,’或’++#故2,1,槡’或1+##即1 的取值范围
2 2 2 2
为!2#槡’"/!##*8"!
!-!解’!!"零假设为4 ’性别与感冒情况不具有相关性!
2
根据列联表中的数据#
!22/!’2/!2%+-/!-"# !22
得$#( ( 3’!2’2,’!0+!(- #,,,,,,,,,+分
)-/#-/+-/-- ’’ 2!2-
根据小概率值!(2!2-的独立性检验#没有充分证据推断4 不成立#即认为性别与感冒情
2
况无关!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
!#"根据分层随机抽样的知识可知#男性有#人#女性有’人# ,,,,,,,,,,)分
所以随机变量@的所有可能取值为2#!###,,,,,,,,,,,,,,,,,,0分
7# ! 7!7! ’ 7# ’
则#!@(2"( # ( ##!@(!"( ’ # ( ##!@(#"( ’ ( #
7# !2 7# - 7# !2
- - -
所以@的分布列为
@ 2 ! #
! ’ ’
#
!2 - !2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
! ’ ’ "
所以2!@"(2/ *!/ *#/ ( !,,,,,,,,,,,,,,,,,,!’分
!2 - !2 -
!"!解’!!"由5&6#/*5&6#6*345#7*5&6/5&66(!#可得5&6#/*5&6#6%5&6#7*5&6/5&66
(2# ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!分
所以由正弦定理得%#*>#%$#*%>(2!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
%#*>#%$# %%> !
由余弦定理可知%#*>#%$#(#%>3457#所以3457( ( (% #,,-分
#%> #%> #
#!
因为7)!2#!"#所以7( !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
’
!
!#"因为/8#78#所以.678( !
"
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!"#!$%&
{#{QQABRQSUggggABAAABhCQwFACgOQkgACAagGgAAIsAAByBNABAA=}#}!
>$78
/8 + #
因为 ( -/78 ( (##所以%(>!,,,,,,,,,,,,!2分
68 + !
-678 %$785&6.678
#
由!!"可知%#*>#%$#*%>(2#又$(’#所以%(>(槡’! ,,,,,,,,,,,!#分
! ’槡’
所以-/67的面积为 %>5&6./76( !,,,,,,,,,,,,,,,,,!-分
# +
!)!!!"证明’因为#8#(#6#*68##所以#6#68!,,,,,,,,,,,,,,,!分
因为平面#68#平面/678#且平面#68$平面/678(68#所以#6#平面/678!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
又因为/8%平面/678#所以/8##6!,,,,,,,,,,,,,,,,,,-分
!#"解’如图#取2为/6的中点#连接28#
在平面#/6中#作2"#/6#2"交/#于点"!
因为8/(86(槡-#所以28#/6#
因为28%平面/678#所以28##6#又/6$#6(6#所以28#平面#/6!,,"分
以2为原点#2"#26#28所在直线分别为-#1#A轴#
建立如图所示的空间直角坐标系#
则6!2#!#2"#/!2#%!#2"#8!2#2##"##!!#!#2"!
554 554 554
设8:(%8#!2’%’!"#即8:(%!!#!#%#"#可得:!%#%##%
554 554
#%"#/6(!2###2"#6:(!%#%%!##%#%"#,,,,,,,,0分
设平面/6:的法向量为#(!-#1#A"#
554
)#$/6(#1(2#
则
554
#$6:(%-*!%%!"1*!#%#%"A(2#
令A(%#则-(#%%##1(2#得#(!#%%##2#%"! ,,,,,,,,,,,,,,!2分
易得平面#/6的一个法向量为$(!2#2#!"!,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
! $$# %
因为平面:/6与平面#/6的夹角为 #所以"345-$##."( (
+ "$""#" 槡!#%%#"#*%#
! 槡#
(345 ( # ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!’分
+ #
#
整理得’%#%0%*+(2#解得%( 或%(#!舍去"#
’
554 #554 #槡"
所以8:( 8##即8:( ! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!-分
’ ’
!B " ! B "
!0!!!"解’由题可知" #2 #: % #2 ##!- #1 "#由已知得直线(的斜率恒不为2#故可
# # # #
B
设(’-()1% !
#
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{#{QQABRQSUggggABAAABhCQwFACgOQkgACAagGgAAIsAAByBNABAA=}#}1 B
-()1% #
联立0 # 可得1#%#B)1*B#(2# ,,,,,,,,,,,,,,,,,#分
21#(#B-#
因为直线(与2相切于点##所以#(+B#)#%+B#(2#解得)(:!#,,,,,,’分
则1 (
#B)
(B)#- (
1#
# (
B)#
!
# # # #B #
B)# B
因为"#""(##所以 * (##解得B(##即抛物线2的方程为1#(+-!,,,,-分
# #
!#"!&"证明’由已知得直线(的斜率恒不为2#故问设/6的方程为-(’1*!#/!-#1"#
! !
6!-#1"#由!!"得:!%!#2"!
# #
)-(’1*!#
联立方程组 可得1#%+’1%+(2#则11(%+#1*1(+’#,,,,,)分
1#(+-# ! # ! #
1 1 1 1 #’11*#!1*1"
所 以 ? *? ( ! * # ( ! * # ( ! # ! # (
:/ :6 -*! -*! ’1*# ’1*# !’1*#"!’1*#"
! # ! # ! #
%0’*0’
(2!
!’1*#"!’1*#"
! #
故-轴平分./:6!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!2分
!&&"解’由!&"可知直线:/与:6关于-轴对称#所以点6#7关于-轴对称#则7!-#
#
%1"!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
#
不妨设1+2#因为点/在:与7之间#所以-+!#1+##
# # #
! 1’ !
+( /#1/!-%!"(!-%!"1( # %1#+( /#/1(1#,,,,,,!’分
! # # # # # + # # # # #
则-+%+("1%
1’
##令.!1"("1%
1’
!1+#"#则.0!1"("%
’1#
(
’
!0%1#"#
# ! # + + + +
令.0!1"+2#则0%1#+2#解得#,1,#槡##
则.!1"在!###槡#"上单调递增#在!#槡##*8"上单调递减#.!1" (.!#槡#"(0槡##
;<=
所以-+%+ 的取值范围为!%8#0槡#&!,,,,,,,,,,,,,,,,,,!)分
# !
!,!!!"证明’令.!-"(%-#*>-*$!%*2"!
设/!-#1"#6!-#1"#7!-#1"!-,-,-"是曲线1(.!-"上三个不同的点!
! ! # # ’ ’ ! # ’
1%1 %!-#%-#"*>!-%-"
直线/7的斜率? ( ’ ! ( ’ ! ’ ! (%!-*-"*>#,,,,#分
/7 -%- -%- ’ !
’ ! ’ !
因为.0!-"(#%-*>#所以曲线1(.!-"在点6处的切线斜率? (.0!-"(#%-*>#
6 # #
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
直线/7与曲线1(.!-"在点6处的切线平行#则? (? #即#%-*>(%!-*-"*>#
/7 6 # ’ !
则#-(-*-#故.!-"是/等差函数0!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-分
# ’ !
!#"解’假设函数.!-"(>6-为/等差函数0!
因为2,-,-,-#且-#-#- 成等差数列#所以-*-(#-!
! # ’ ! # ’ ! ’ #
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’
>6
1%1 >6-%>6- -
直线/7的斜率? ( ’ ! ( ’ ! ( ! #,,,,,,,,,,,,"分
/7 -%- -%- -%-
’ ! ’ ! ’ !
! ! #
因为.0!-"( #所以曲线1(.!-"在点6处的切线斜率? (.0!-"( ( #,
- 6 # - -*-
# ’ !
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)分
-*- -
直线/7与曲线1(.!-"在点6处的切线平行#则? (? #整理得#( ’ ! >6 ’ (
/7 6 -%- -
’ ! !
-
’
*!
- - -
! $>6 ’#令’( ’ +!#即!’*!">6’%#!’%!"(2!,,,,,,,,,,,,,分
- - -
’ ! !
%!
-
!
’*! !
令C!’"(!’*!">6’%#!’%!"!’+!"#则C0!’"(>6’* %#(>6’* %!!
’ ’
! ! ! ’%!
令?!’"(>6’* %!!’+!"#则?0!’"( % ( +2#故?!’"在!!#*8"上单调递增#
’ ’ ’# ’#
?!’"+?!!"(2#即C0!’"+2#则C!’"在!!#*8"上单调递增#C!’"+C!!"(2!故当’+!
时#!’*!">6’%#!’%!"+2#即!’*!">6’%#!’%!"(2无解#故函数.!-"(>6-不是/等
差函数0!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
!’"解’假设函数.!-"(->6-为/等比函数0!
因为2,-,-,-#且-#-#- 成等比数列#设公比为D!D+!"#所以-(-D#-(
! # ’ ! # ’ # ! ’
-D##
!
1%1 ->6-%->6- D#!>6-*#>6D"%>6-
直线/7的斜率? ( ’ ! ( ’ ’ ! ! ( ! ! (>6- *
/7 -
’
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!
-
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!
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#D#>6D
#,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!’分
D#%!
因为.0!-"(>6-*!#所以曲线1(.!-"在点6处的切线斜率? (.0!-"(>6-*!(
6 # #
>6-*>6D*!#,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!+分
!
D#%!
直线/7与曲线1(.!-"在点6处的切线平行#则? (? #整理得>6D% (2!,
/7 6 D#*!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!-分
-#%! ! +- !-#%!"#
令,!-"(>6-% !-+!"#则,0!-"( % ( (2#
-#*! - !-#*!"# -!-#*!"#
-#%!
所以,!-"(>6-% 在!!#*8"上单调递增#所以,!-"+,!!"(2#
-#*!
D#%!
所以>6D% (2在D+!时无实数解#所以函数.!-"(->6-不是/等比函数0!,,
D#*!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!)分
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