2007年海南高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_海南

2007 年海南高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据x,x , ,x 的标准差 锥体体积公式 1 2  n 1 1 s [(x x)2(x x)2 (x x)2] V  Sh n 1 2  n 3 其中x 为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 4 V Sh S4R2, V  R3 3 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知命题 p:xR，sin x„ 1，则 （A）p:xR, sin x… 1 （B）p:xR, sin x… 1 （C）p:xR, sin x1 （D）p:xR, sin x1 1 3 （2）已知平面向量a(1,1), b(1,1), 则向量 a b= 2 2 （A）(2,1) （B）(2,1) （C）(1,0) （D）(1,2)   （3）函数ysin(2x )在区间[ , ]的简图是 3 2 第1页 | 共11页（A） （B） （C） （D） （4）已知{a }是等差数列，a 10，其前10项和S 70，则其公差d  n 10 10 2 1 1 2 （A） （B） （C） （D） 3 3 3 3 （5）如果执行右面的程序框图， 开始 那么输出的S  k=1 （A）2 450 （B）2 500 S=0 （C）2 550 （D）2 652 否 k≤50? 是 输出S S=S+2k k=k+1 结束 （6）已知抛物线y2 2px(p0)的焦点为F ，点P(x,y )、P(x ,y )、P(x ,y )在抛物线 1 1 1 2 2 2 3 3 3 上，且2x x x ，则有 2 1 3 （A） FP  FP  FP （B） FP 2  FP 2 FP 2 1 2 3 1 2 3 （C）2 FP  FP  FP （D） FP 2 FP  FP 2 1 3 2 1 3 (ab)2 （7）已知x0, y0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则 的最小值是 cd （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 （8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的 体积是 第2页 | 共11页20 20 20 正视图 侧视图 10 10 20 俯视图 4000 （A） cm3 3 8000 （B） cm3 3 （C）2000 cm3 （D）4000 cm3 cos2 2 （9）若  ，则cossin的值为  2 sin( ) 4 7 1 1 7 （A） （B） （C） （D） 2 2 2 2 1 x （10）曲线ye2 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 9 （A） e2 （B）4e2 （C）2e2 （D）e2 2 （11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4 s 、s 、s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 1 2 3 （A）s s s （B）s s s 3 1 2 2 1 3 （C）s s s （D）s s s 1 2 3 2 3 1 第3页 | 共11页（12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形， 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为h、h、h，则 h﹕h﹕h = 1 2 1 2 （A） 3﹕1﹕1 （B） 3﹕2﹕2 （C） 3﹕2﹕ 2 （D） 3﹕2﹕ 3 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做 答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离 心率为 . (x1)(xa) （14）设函数 f(x) 为奇函数，则a . x 510i （15）i是虚数单位，  .(用abi的形式表示，a,bR) 34i （16）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一 个班，不同的安排方法共有 种.(用数字作答) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现 测得BCD，BDC ，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. （18）（本小题满分12分） 如图，在三棱锥SABC中, 侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形, BAC 90, O 为 BC中点. S （Ⅰ）证明：SO平面ABC; （Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值. C O B 第4页 | 共11页 A（19）（本小题满分12分） x2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0, 2)且斜率为k的直线l与椭圆  y2 1有两个 2 不同的交点P和Q. （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向    量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由. （20）（本小题满分12分） 如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积： 在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为 m S . 假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10 000个 n 点，以X 表示落入M中的点的数目. （Ⅰ）求X 的均值EX ； （Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间 D C (0.03, 0.03)内的概率. k 附表：P(k)Cl 0.25l 0.7510000l M 10000 l0 k 2424 2425 2574 2575 P(k) 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590 A B （21）（本小题满分12分） 设函数 f(x)ln(xa)x2. （Ⅰ）若当x1时 f(x)取得极值，求a的值，并讨论 f(x)的单调性； e （Ⅱ）若 f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln . 2 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时 请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆 心O在PAC的内部，点M是BC的中点. P （Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小. A O 第5页 | 共11页 M B C（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 ⊙O和⊙O的极坐标方程分别为4cos,  4sin. 1 2 （Ⅰ）把⊙O和⊙O的极坐标方程化为直角坐标方程； 1 2 （Ⅱ）求经过⊙O，⊙O交点的直线的直角坐标方程. 1 2 （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数 f(x) 2x1 x4 . （Ⅰ）解不等式 f(x)>2； （Ⅱ）求函数y f(x)的最小值. 参考答案和评分参考 评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一．选择题 （1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）C （7）D （8）B （9）C （10）D （11）B （12）B 二．填空题 （13）3 （14）1 （15）12i （16）240 三．解答题 第6页 | 共11页（17）解： 在△BCD中， CBD. ……2分 由正弦定理得 BC CD  , ……5分 sinBDC sinCBD CDsinBDC 所以 BC  sinCBD ssin  . ……8分 sin() 在Rt△ABC中， ABBCtanACB stansin  . ……12分 sin() （18）证明： （Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以 2 OA=OB=OC= SA，且AO⊥BC. 又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且 2 2 S SO= SA， 2 M 从而OA2+SO2 =SA2， ……3分 所以△SOA为直角三角形，SO AO. 又AO∩BC=O， C O 所以SO⊥平面ABC. ……6分 （Ⅱ）解法一： B A 取SC中点M, 连结AM, OM, 由（Ⅰ）知SOOC, SA AC, 得OM⊥SC，AM⊥SC. OMA为二面角ASCB的平面角. ……9分 由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BCO得 AO⊥平面SBC， 3 所以AO⊥OM. 又AM  SA，故 2 AO 2 6 sinAMO   , AM 3 3 3 所以二面角ASCB的余弦值为 . ……12分 3 解法二： 以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 z Oxyz. 设B(1,0,0)，则C(1,0,0), A(0,1,0),S(0,0,1). S M 第7页 | 共11页 C O B A x y 1 1 SC的中点M ,0, ,  2 2  1 1  1 1  MO ,0, , MA ,1, , SC (1,0,1), 2 2 2 2     MOSC 0，MASC 0.   故MO⊥SC，MA⊥SC，MO,MA等于二面角ASCB的平面角. ……9分     MOMA 3 cosMO,MA  ,   MO MA 3 3 所以二面角ASCB的余弦值为 . ……12分 3 （19）解： （Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为 ykx 2， 代入椭圆方程得 x2 (kx 2)2 1， 2 1 整理得 ( k2)x2 2 2kx10. ① ……3分 2 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 1 8k2 4( k2)4k2 20， 2 2 2 2 2 解得k  或k  . 即k的取值范围为(, ) ( ,). ……6分  2 2 2 2   （Ⅱ）设P(x,y ),Q(x ,y )，则OPOQ(x x ,y  y )， 1 1 2 2 1 2 1 2 由方程①， 4 2k x x  . ② 1 2 12k2 又 y  y k(x x )2 2. ③ ……8分 1 2 1 2  而A( 2,0), B(0,1), AB( 2,1).    所以OPOQ与AB共线等价于 x x  2(y  y )， 1 2 1 2 2 将②③代入上式，解得k  . ……11分 2 2 2 由（Ⅰ）知k  或k  ，故没有符合题意的常数k. ……12分 2 2 （20）解： 1 每个点落入M中的概率均为 p . ……2分 4 第8页 | 共11页1 依题意知X B(10000, ).  4 1 （Ⅰ）EX 10000 2500. ……6分 4  X  （Ⅱ）依题意所求概率为P0.03 410.03 ， ……9分  10000   X  P0.03 410.03  10000  P2425 X 2575 2574   Cl 0.25l 0.7510000l 10000 l2426 2574 2425  Cl 0.25l 0.7510000l  Cl 0.25l 0.7510000l 10000 10000 l0 l0 0.95700.0423 0.9147. ……12分 （21）解： 1 （Ⅰ） f(x) 2x， xa 3 依题意有 f(1)0，故a ， ……2分 2 2x2 3x1 (2x1)(x1) 从而 f(x)  . 3 3 x x 2 2 3 3 1 f(x)的定义域为( ,). 当 x1时， f(x)0；当1x 时， f(x)0； 2 2 2 1 3 1 当x 时， f(x)0. 从而， f(x)分别在区间( ,1)，( ,)单调增加，在区间 2 2 2 1 (1, )单调减少. ……5分 2 2x2 2ax1 （Ⅱ） f(x)的定义域为(a,)， f(x) . xa 方程2x2 2ax10的判别式4a2 8. （ⅰ）若0，即 2a 2 ，在 f(x)的定义域内 f(x)0，故 f(x)无极值. （ⅱ）若0，则a 2或a 2. ( 2x1)2 2 若 a 2， x( 2,)， f(x) . 当 x 时 ， f(x)0， 当 x 2 2 2 2 x( 2, ) ( ,)时， f(x)0，所以 f(x)无极值.  2 2 ( 2x1)2 若a 2，x( 2,), f(x) 0， f(x)也无极值. ……7分 x 2 第9页 | 共11页（ⅲ）若0，即a 2或a 2，则2x2 2ax10有两个不同的实根 a a2 2 a a2 2 x  , x  . 1 2 2 2 当a 2时，x a,x a. 从而 f(x)在 f(x)的定义域内没有零点，故 f(x)无极 1 2 值. 当a 2时，x a,x a， f(x)在 f(x)的定义域内有两个不同的零点，由极值判 1 2 别方法知 f(x)在xx,xx 取得极值. 1 2 综上， f(x)存在极值时，a的取值范围为( 2,). ……10分 f(x)的极值之和为 f(x ) f(x )ln(x a)x2 ln(x a)x 2 1 2 1 1 2 2 1 e ln a2 11ln2ln . ……12分 2 2 （22） P （Ⅰ）证明：连结OP，OM. 因为AP与⊙O相切于点P，所以 A O OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 M B OM⊥BC. C 于是∠OPA＋∠OMA=180°，由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆. ……6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以 ∠OAM=∠OPM. 由（Ⅰ）得OP⊥AP. 由圆心O在PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°. 所以∠OAM＋∠APM=90°. ……10分 （23）解： 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单 位. （Ⅰ）xcos, ysin，由4cos得 2 4cos， 所以x2  y2 4x. 第10页 | 共11页即x2  y2 4x0为⊙O的直角坐标方程. 1 同理x2  y2 4y0为⊙O的直角坐标方程. ……6分 2 x2  y2 4x0, （Ⅱ）由 x2  y2 4y0 x 0, x 2, 解得  1  2 y 0; y 2. 1 2 即⊙O，⊙O交于点（0，0）和(2, 2). 过交点的直线的直角坐标方程为yx. 1 2 ……10分 （24）解： y （Ⅰ）令y|2x1||x4|，则  1 x5, x„  ,  2  y=2  1 y3x3,  x4, ……3分 O 2   x5, x… 4.  1 4 x 2   5 作出函数y|2x1||x4|的图像，它与直线y2的交点为(7,2)和( ,2). 3 5 所以|2x1||x4|2的解集为(,7) ( ,). ……6分  3 1 （Ⅱ）由函数y |2x1||x4|的图像可知，当x 时，y|2x1||x4|取得 2 9 最小值 . ……10分 2 第11页 | 共11页