海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题+答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年09月试卷_0909海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第一次月考

2024—2025 学年度第一学期高三第一次月考试题 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．若复数 是纯虚数，则实数 （ ） A． B． C． D． 3 ． “ 幂 函 数 在 上 为 增 函 数 ” 是 “ 函 数 为奇函数”的（ ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．已知已知 ，则 等于（ ） A．1 B．－ C． D．－ 5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半 轴长与短半轴长的乘积．如图， ， 为椭圆 ： 的左、 右焦点，中心为原点，椭圆 的面积为 ，直线 上一点 满足 是等 腰 三角形，且 ，则 的离心率为（ ） 高三数学 第1页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D． 6．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会 的志愿服务，每个场馆不能少 于2人，则不同的安排方法有（ ） A．2720 B．3160 C．3000 D．2940 7．已知等边△ABC 的边长为 ，P 为△ABC 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，若对任意 都有 ，则实 数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列不等式一定成立的有（ ） 1 A．x＋ ≥2 B．2x（1－x）≤4 3 C．x2＋ x2 1≥2 －1 D． x ＋ ≥2 10．在前n项和为 的正项等比数列 中， ， ， ， 则（ ） A． B． C． D．数列 中的最大项为 高三数学 第2页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司11．四棱锥 的底面为正方形， 与底面垂直， ， ，动点M 在线段 上，则（ ） A．不存在点 ，使得 B． 的最小值为 C．四棱锥 的外接球表面积为 D．点M到直线 的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量 , 满足|a|＝1，b＝(1,2)，a⊥(a－2b)，则向量a,b夹角的余弦 值为__________. 13．设函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，当 时， ，则 ______. x21 ,x1  fxlnx 14．已知函数   x ,x1 ，若关于x的方程 2  f x  2 12m f xm0 有 5个不同的实数解，则实数m的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知 分别是△ABC内角 的对边， ， ． （1）求 ； （2）若△ABC的面积为 ，求 ． 16.（本小题满分15分） 高三数学 第3页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，AD∥BC， ∠ADC=60°，AP＝AD＝2BC＝2，E为棱CP上一点. （1）证明：平面ABE⊥平面ADP； （2）若AE＝BE，求平面ABE与平面CDP 所成角的正弦值。 17.（本小题满分15分） 已知椭圆方程为 ，过点 ， 的直线倾斜角为 ， 原点到该直线的距离为 ． （1）求椭圆的方程； （2）对于 ，是否存在实数k，使得直线 分别交椭圆于点P，Q，且 ，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 18.（本小题满分17分）已知函数 ． （1）求曲线y＝f (x) 在x=3处的切线方程。 （2）讨论函数 的单调性； （3）设函数 ．证明：存在实数 ，使得曲线 关于直线 对称。 19.（本小题满分17分） 高三数学 第4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司若有穷数列 a , a , …, a （ 是正整数），满足 ， ，…， 即 1 2 n （i是正整数，且 ），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列 是项数为8的对称数列，且 ， ， ， 成等差数列， ， ，试写出 的每一项． （2）已知 是项数为 （其中 ，且 ）的对称数列，且 …, c k1 ,c k2 ,  ,c 2k 构 成首项为 ，公差为 的等差数列，数列 的前 项和为 ，则当 为何 值时， 取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数 ，试写出所有项数为 的对称数列，使得 ,…, 1,2,22  2i1成为数列中的连续项；当 时，并分别求出所有对称数列的前 项 和 ． 2024—2025 学年度第一学期高三第一次月考答案 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D B D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 CD BC BCD 【选择题解析】 1．因为 ， ， 所以 。故选：A 2． ，则 ，有 . 3．要使函数 是幂函数，且在 上为增函数， 高三数学 第5页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司则 ，解得： ，当 时， ， ， 则 ， 所以函数 为奇函数，即充分性成立； “函数 为奇函数”，则 ， 即 ， 解得： ，故必要性不成立。 4．因为 ， 所以 ，又因为 ， 5．由题可知， ，即 ， 是以 为顶角的等腰三 角形，则有： ， ， ， 所以 ， 又因为 ，即 ， ， 可得： ，解得 ，故离心率为 ． 6．共有两种分配方式，一种是 ，一种是 ， 故不同的安排方法有 . 7．如右图构建平面直角坐标系，且 ， ， ， 所以 在以 为圆心，1为半径的圆上， 即轨迹方程为 ， 高三数学 第6页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司而 ， 故 ， 综上，只需求出定点 与圆 上点距离平方 范围即可， 的 而圆心 与 的距离 ， 故定点 与圆上点的距离范围为 ，所以 . 8．由条件对任意 都有 ，化为 ， 构造 ，则 在 上单调递增 令 ， 1 1 x1,x10,x1 24,当且仅当x1 即x2时取等号。 x1 x1 ，当且仅当 时取等号， 9．对于A，当x＜0时，x＋ ＜0，故A错误； 对于B，2x（1－x）＝－2x2＋2x＝－2(x－ )2＋ ≤ ，故B错误； 对于C，x2＋ ＝x2＋1＋ －1≥2 －1＝2 －1， 当且仅当x2＝ －1时取等号，故C正确； 高三数学 第7页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司对于D， ＋ ≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取等号，故D正确。 故选C、D。 10．设等比数列 的公比为q，由 ，有 ， 联立方程 解得 或 （舍去）， 有 ，可得 ．对于A选项，由 ，有 ，故A选项错误； 对于B选项， ，故B选项正确； 对于C选项，由 ，有 ，故C选项正确； 对于D选项，由 ， 令 ，有 ， 可得 有 ， 可得数列 中的最大项为 或 ，故D选项错误， 11．对于A：连接 ，且 ，如图所示，当 在 中点时， 因为点 为 的中点，所以 ， 因为 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ， 因为 为正方形，所以 . 又因为 ，且 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ，所以A错误； 对于B：将△PBC和△PCD所在的平面沿着PC展开在一个平面上，如图所示， 则 的最小值为 ， 高三数学 第8页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司直角△PBC斜边 上高为 ，即 ， 直角△PCD斜边 上高也为 ， 所以 的最小值为 ，所以B正确； 对于C：易知四棱锥 的外接球直径为 ， 半径 ，表面积 ； 对于D：点 到直线 距的离的最小值即为异面直线 与 的距离， 因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 所以直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离， 过点 作 ，因为 平面 ， 所以 ，又 ，且 , 故 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ， 所以点A到平面 的距离，即为 的长，如图所示， 在 中， ， ，可得 ， 所以由等面积得 ， 即直线 到平面 的距离等于 ， 所以D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．－1 14． 【解析】 12．由题设 ，所以 . 13．因为函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数， 高三数学 第9页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司则 ， ， 所以，函数 的图象关于直线 对称，也关于点 对称， 所以， ， ， 所以， ，则 ， 所以，函数 是周期为 的周期函数， 当 时， ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 所以， ， 又因为 ，所以， . 14．设 ，则 ， 由 ，解得 ， 当 时， ，函数为增函数， 当 时， ，函数为减函数． 当 时，函数取得极大值也是最大值为 ． 方程 化为 ． 解得 或 ． 如图画出函数图象： 可得 的取值范围是 ． m 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．解：（1）由 及正弦定理可得 ， ， 高三数学 第10页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司所以 ， 即 ， ， 所以 ，所以由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ， 由余弦定理得 ， …………7分 （2）由（1）知 ， 因为△ABC的面积为 ， 所以 ，解得 ，则 ……13分 16.（1）证明：由题意可知AB⊥AD， 因为PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，所以AB⊥AP， 又AP∩AD=A，所以AB⊥平面ADP， 又 AB 平面ABE，所以平面ABE⊥平面ADP ………… 6分 （2）解：由题意可知△ACD为等边三角形，且 . 连接AC，作EF⊥AC于F，连接BF， 则有EF∥AP，且EF⊥平面ABCD， 因为AE=BE，所以AF=BF， 所以AF=CF，故E为CP的中点………9分 以A为坐标原点， ， ， 的方向 分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图 所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B( ,0,0), C( ,1,0), D(0,2,0), E( , ,1), P(0,0,2) 设平面ABE的一个法向量 , , 则 ，即 ，可取 . 设平面CDP的一个法向量 , , ， 高三数学 第11页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，可取 . 则 ， 即所求角的正弦值为 . 故平面ABE与平面CDP所成角的正弦值为 …………15分 17．解：（1）因为过点 ， 的直线倾斜角为 ， 所以 ，即 ， 过点 ， 的直线方程为 ， 故原点到该直线的距离为 ，解得 ， 故 ，所以椭圆的方程是 ． …………………6 分 （2）记 ， ．将 代入 ，得 ， 则 ，解得 或 ， 设PQ的中点为M，则 ， ． 由 ，得 ，∴ ， ∴ ，得 或 ， 高三数学 第12页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司由于 或 ，故 ， 均使方程没有两相异实根， ∴满足条件的k不存在． ………………………… 15分 18.（1）解：切点为（3, ln4）. 因为 ，所以切线的斜率为 ， 所以曲线 在 处的切线方程为 ， 化简得 ………………4分 （2）解：由题意可知 ，则 的定义域为 ， ， 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时，令 ，即 ，解得 ， 若 ， ； 若 ， ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增． 综上所述，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增…10 分 （3）证明：函数 函数 的定义域为 ． 若存在 ，使得曲线 关于直线 对称， 则 关于直线 对称，所以 xm 高三数学 第13页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司由 x 2x1 x1 2x1 x1 x1 2x1 xln ln xln ln 1xln ln ln x1 x1 x x1 x x x1 ． 可知曲线 关于直线 对称． ………………17 分 19．解：（1）因为 ， ， ， 成等差数列， ， ， 设前 项的公差为 ，所以 ， 所以 ， ， 又数列 是项数为 的对称数列， 所以 ， ， ， ， 所以 的项依次为 ， ， ， ， ， ， ， . ………………5分 （2）因为 构成首项为 ，公差为 的等差数列， 所以 ， 又 ， ， ， ， 所以 ， 所以当 时 取得最大值，且 ……………10 分 （3）因为 ， ， ， ， 成为数列中的连续项， 且该对称数列的项数为 ，所以这样的对称数列有： ① ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ② ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 因为 ， 对于①，当 时 ； 当 时 高三数学 第14页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司， 220241,i2024 所以 S  2024 2i12i122i2025,2000i2024 对于②，当 时 ； 当 时 ， 220241,i2024 所以S . ………………17 2024 2i12i122i2025,2000i2024 分 高三数学 第15页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司