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数学参考答案：
1．D
【详解】解：将B中元素分别代入ex −3x<0，只有1符合，
则A∩B={1}
.
故选：D.
2．B
2−z
【详解】 =−i⇒2−z=1−i⇒z=1+i，
1+i
所以 z=1−i.
故选：B．
3．C
【详解】由题设a+b=(x+2,0)，a−2b=(x−4,3)，
所以(a+b)⋅(a−2b)=(x+2)(x−4)=0，可得x= −2或4.
故选：C
4．D
3
【详解】sin2θ=2sinθcosθ=− ，
4
3
∴sinθcosθ=− ，
8
1 sinθ cosθ sin2θ+cos2θ 1 8
∴tanθ+ = + = = =−
tanθ cosθ sinθ sinθcosθ 3 3.
−
8
故选：D.
5．D
h 1
【详解】如图，设圆柱的高为h，由题意可得 = ，所以h=2，从而圆柱的侧面积
4 2
S =2π×1×2=4π，
侧
故选：D.
答案第1页，共10页
学科网（北京）股份有限公司6．D
【详解】对于A，当x=0时，
20 =1>0
1
2
，所以 f (x)不是R上的增函数，所以A错误，
对于B，当x≤0时，0<2x ≤1，当x>0时，
x
1
2 >0
，
所以 f (x)的值域为(0,+∞)，所以B错误，
对于C，当x≤0时，由 f (x)> 1 ，得2x > 1 ，解得−10时，由 f (x)> ，得x2 > ，解得x> ，
2 2 4
1 1
综上，由 f (x)> ，得−1 ，
2 4
1 1
所以“x> ”是“ f (x)> ”的充分不必要条件，所以C错误，
4 2
对于D， f (x)的图象如图所示，
由图可知当a>1时，直线y=a与y= f(x)图象只有一个交点，
即关于x的方程 f (x)=a恰有一个实根，所以D正确，
故选：D
7．C
答案第2页，共10页【详解】由题意可知， f (x)的最小正周期T = 2π =π，
2
π π
π π π T +
因为 − = < ，可知 3 4 7π为 f (x)的一条对称轴，
3 4 12 4
x= =
2 24
所以 f (x)在x= 7π 之后的零点依次为 7π + T = 13π ， 7π + 3T = 25π ， 7π + 5T = 37π ，
24 24 4 24 24 4 24 24 4 24
7π 7T 49π
+ = ，…，
24 4 24
π 37π 49π
若 f (x)在区间 ,t 上恰有3个零点，所以 ≤t< .
2 24 24
故选：C.
8．A
【详解】因为函数y= f (x)对于任意实数a和b，都有 f (a+b)+ f (a−b)=2f (a)⋅ f (b)，
所以令ab0，有 f (0)+ f (0)=2f (0)⋅ f (0)，即2f (0)[f (0)−1]=0，所以 f (0)=0或
f (0)=1；
x x x x x
令a=b= ，x为任意实数，有 f (x)+ f (0)=2f ⋅ f ，即 f (x)=2f ⋅ f − f (0)；
2 2 2 2 2
x x
因为 f ⋅ f ≥0，所以 f (x)≥−f (0)，
2 2
当 f (0)=0时， f(x)≥0；当 f (0)=1时， f (x)≥−1；
所以 f (x)的值不可能是−2，
故选：A.
9．ACD
【详解】对于A，随机变量X ~ N
( 0,σ2)
满足正态分布，且µ=0，
故 f (−x)=P(X ≤−x)=P(X ≥x)=1− f (x)，故A正确；
1
对于B，当x=0时， f (2x)=P(X ≤0)= ,2f (x)=2P(X ≤0)=1,
2
此时 f (2x)≠2f (x)，故B错误；
对于C，P ( X f (2)，即 >2，
1−x 1−x
1
解得 2或x<0时， fx0，当00时，方程变换为y2−xy+x2−1=0，由∆=x2−4(x2−1)≥0，解得x∈0, ，所
3
以x只能取整数1，
当x=1时，y2−y=0，解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0),(1,1)，
根据对称性可得曲线还经过(−1,0),(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故B正确；
x2+y2
对于C，当x>0时，由x2+y2 =1+xy可得x2+y2−1=xy≤ ，（当x= y时取等号），
2
∴x2+y2 ≤2，∴ x2+y2 ≤ 2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过 2，根据对
称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2，故C错误；
对于D，如图所示，在x轴上图形的面积大于矩形ABCD的面积：S =1×2=2，x轴下方的
1
1
面积大于等腰三角形ABE的面积：S = ×2×1=1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积
2 2
大于2+1=3，故D正确；
故选：ABD
1
12． /0.5
2
【详解】依题意，△PFF 的周长为2a+2c=6，
1 2
1
所以a+c=3,PFF 面积的最大值为 ×2c×b=bc= 3，
1 2 2
3
又a2 =b2+c2，整理得(3−c)2 = +c2,即(c−1)2(2c+1)=0,
c2
1
解得c=1,a=2,b= 3，故椭圆C的离心率为 ，
2
答案第5页，共10页
学科网（北京）股份有限公司1
故答案为：
2
13．3
【详解】由题意知， f(−1)=−1−(−1)=0， f′(x)=3x2−1， f′(−1)=3−1=2，
则y= f(x)在点(−1,0)处的切线方程为y=2(x+1)，
即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点(x ,g(x ))，
0 0
其中g′(x)=2x，则g′(x )=2x =2，解得x =1，
0 0 0
将x =1代入切线方程，得y=2×1+2=4，
0
则g(1)=1+a=4，解得a=3；
故答案为：3
35
14．
89
【详解】解：由题意可分为5步、6步、7步、8步、9步、10步共6种情况，
①5步：即5步两阶，有C5 =1种；
5
②6步：即4步两阶与2步一阶，有C2 =15种；
6
③7步：即3步两阶与4步一阶，有C3 =35种；
7
④8步：即2步两阶与6步一阶，有C2 =28种；
8
⑤9步：即1步两阶与8步一阶，有C1 =9种；
9
⑥10步：即10步一阶，有C10 =1种；
10
综上可得一共有89种情况，满足7步登完楼梯的有35种；
35
故7步登完楼梯的概率为
89
35
故答案为：
89
15．(1)1.4(m)
(2)
11
14
【详解】（1）由题意得AB+BC =0.2×10=2，
设BC =x，00即x <− 或x > ，
M 3 M 3 M M 2 M 2
3 2 3 2
即当x <− 或x > 时，直线AB存在且斜率为1.
M 2 M 2
3
17．(1)证明见解析；(2)
6
答案第7页，共10页
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）取CD中点G，连接NG，MG
G,M 为CD,BC中点 ∴GM //BD
又BD⊂平面BDE，GM ⊄平面BDE ∴GM //平面BDE
四边形ACDE为正方形，N,G为AE,CD中点 ∴NG//DE
又NG⊂平面BDE，NG⊄平面BDE ∴NG//平面BDE
GM NG=G，GM,NG⊂平面MNG ∴平面MNG//平面BDE
又MN⊂平面MNG ∴MN //平面BDE
（2）∆ABC为正三角形，M 为BC中点 ∴AM ⊥BC
平面ACDE⊥平面ABC，CD⊥ AC，平面ACDE平面ABC = AC，CD⊂平面ACDE
CD平面ABC，又AM ⊂平面ABC ∴AM ⊥CD
又BC∩CD=C，BC,CD⊂平面BCD ∴AM ⊥平面BCD
FM ⊂平面BCD ∴AM ⊥MF
设CF =a，则 AF = 4+a2 ， MF = 1+a2 ，AM = 3
30 30× 4+a2
∴AF⋅ = AM⋅MF ，即： = 3× 1+a2 ，解得：a=1
5 5
1 1 1 3
∴V =V = S ⋅AM = × ×1×1× 3=
C−AFM A−FCM
3
∆FCM
3 2 6
18．(1)0.992
(2)202株
(3)n=10，2.6元
【详解】（1）记事件A=“该基地的植株经过三次喷洒后，随机检测一株植株能获得基因改
良”，
所以P(A)=0.8+0.2×0.8+0.22×0.8=0.992，
（2）因为植株经过一次喷洒后基因改良的概率为0.8，经过一次喷洒后基因改良的株数k服
从二项分布，
答案第8页，共10页P(N =k)=Ck 0.8k⋅0.2N−k，k =0,1,2,,N
N
当k <162时，P(k =162)=0
当k ≥162时，设P(k =162)=C1620.8162⋅0.2N−162
N
若N =162时，则P(k =162)162时，则
C1620.81620.2N−162 ≥C162 0.81620.2N−161 0.8N ≥161.2
N N+1 ，所以 ，
C1620.81620.2N−162 ≥C162 0.81620.2N−163 0.8N ≤162
N N−1
解得201.5≤N ≤202.5，又N∈N*，所以N =202
所以甲区域种植总数N的最大可能值为202株．
（3）设每组n株(n≤50)的总费用为X元，则X的取值为n+8，11n+8
所以
X n+8 11n+8
P 0.992n 1−0.992n
所以E(X)=(n+8)0.992n+(11n+8)(1−0.992n)
E(X) (n+8)0.992n+(11n+8)(1−0.992n)
则每组中每株检测的平均费用为 =
n n
E(X) 8
所以 =11−10×0.992n+
n n
因为0.992n =( 1−0.008 )n ≈1−0.008n
E(X) 8 8
所以 =1+0.08n+ ≥1+2 0.08n× =2.6（当且仅当n=10时等号成立）
n n n
所以当以10个每组时，检测成本最低，每株2.6元．
19．(1)4
【详解】（1）由题意可得， f(x)+ f(2−x)=2×2=4，令x=0，可得 f(0)+ f(2)=4.
4x
（2）①由g(x)= ，x∈(−∞,2)(2,+∞)，
2−x
4x 4(4−x) 4x 16−4x 8x−16
g(x)+g(4−x)= + = − = =−8=2×(−4)，
2−x 2−(4−x) 2−x 2−x 2−x
所以函数g(x)的图象关于点(2,−4)对称.
答案第9页，共10页
学科网（北京）股份有限公司②g(x)= 4x =−4+ 8 ，函数在
− 2 ,1
上单调递增，所以g(x)∈[−1,4 ]，
2−x 2−x 3
不妨设 f (x)在[ 0,2 ]上的值域为A，则A⊆[−1,4]，
因为x∈[0，1]时， f(x)=x2−ax+a+1，
所以 f(1)=2，即函数 f (x)的图象过对称中心(1，2)，
a
（i）当 ≤0时，即a≤0，函数 f (x)在[ 0,1 ]上单调递增，
2
由对称性可知， f (x)在[1,2]上单调递增，所以 f (x)在[ 0,2 ]上单调递增，
由 f(0)=a+1， f(0)+ f(2)=4，所以 f(2)=3−a，所以A=[ a+1,3−a ]，
a+1≥−1
由A⊆[−1,4]，可得4≥3−a ，解得−1≤a≤0；
a+1≤3−a
a a a
（ii）当0< <1时，即0
