文档内容
年秋季学期⾼⼆年级校联体第⼀次联考
2025
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将⾃⼰的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题⽬的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的⾮答题
区域均⽆效．
3．选择题⽤2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂⿊；⾮选择题⽤⿊⾊签字笔在答题卡上
作答；字体⼯整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡⼀并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第⼀册第⼀章~第⼆章．
⼀､单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的．
1. 已知空间向量 与 共线，则 （ ）
A.-6 B.6 C.-4 D.4
2. 已知直线 与 ，则 与 之间的距离为（ ）
A.1 B. C.2 D.
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 任何向量都可以作为基向量
B. 若 是直线 的⽅向向量，则 也是直线 的⽅向向量
C. 在空间直⻆坐标系中， 是坐标平⾯ 的⼀个法向量
D. 若直线 平⾯ ，则直线 的⽅向向量平⾏于平⾯ 的法向量
4. 若直线 的倾斜⻆是直线 的倾斜⻆的两倍，则实数 （ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知四棱锥 平⾯ ，底⾯ 是矩形，且 ，若
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 圆 关于原点 对称的曲线的⽅程为（ ）
A B.
C. D.
7. 已知 ，两直线 ，若 ，则 最⼩值为
（ ）
A 3 B.2 C. D.
8. 如图，正⽅体 的棱⻓为6，点 为 的中点，点 为底⾯ 上的动点，满
⾜ 的点 的轨迹⻓度为（ ）
A B. C. D.
⼆､多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符
合题⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
10. 已知实数 满⾜ ，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最⼤值是
B. 的最⼤值是
C. 的最⼩值是
D. 的最⼩值是
11. 如图1，已知⻓⽅形 中， 为 的中点，将 沿 折起，使得平
⾯ 平⾯ ，如图2所示，在四棱锥 中，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 和 所成⻆为
C. 点 到直线 的距离为
D. 若点 为线段 上的动点，且 的余弦值为 ，则
三､填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知圆 与圆 有三条公切线，则 __________．
13. 已知向量 ， ， ，若 ， ， 共⾯，则x等于______．
14. 若直线 与曲线 有4个交点，则 的取值范围为__________．
四､解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出必要的⽂字说明､证明过程及演算步骤．
15. 已知 的三个顶点 ．
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求边 上的中线所在直线的⼀般式⽅程；
（2）求边 上的⾼所在直线的斜截式⽅程．
16. 如图，在平⾏六⾯体 中，以顶点 为端点的三条棱⻓都是2，且它们彼此的夹⻆都
是 ， 为 与 的交点．若 ．
（1）求 的值；
（2）求 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底⾯ 是边⻓为1的正⽅形， 的体积为 ，
．
（1）证明：直线 平⾯ ；
（2）求直线 与平⾯ 所成⻆的正切值．
18. 已知以点 为圆⼼的圆与直线 相切，过点 的动直线 与圆 相交于
两点．
（1）当 时，求直线 的⽅程；
（2）求证： 为定值．
19. 如图，在直四棱柱 中，底⾯四边形 为等腰梯形， ，
．
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）证明： ；
（2）若直线 与平⾯ 所成⻆ 正弦值为 ，点 为线段 上⼀点，求点 到平⾯ 的
距离；
（3）求平⾯ 与平⾯ 夹⻆的取值范围．
第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司年秋季学期⾼⼆年级校联体第⼀次联考
2025
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将⾃⼰的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题⽬的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的⾮答题
区域均⽆效．
3．选择题⽤2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂⿊；⾮选择题⽤⿊⾊签字笔在答题卡上
作答；字体⼯整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡⼀并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第⼀册第⼀章~第⼆章．
⼀､单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的．
1. 已知空间向量 与 共线，则 （ ）
A.-6 B.6 C.-4 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】利⽤空间向量共线的坐标表示计算即可.
【详解】因为空间向量 与 共线，
不妨设 ，则 ，所以 ，解之得 ，
则 .
故选：B
2. 已知直线 与 ，则 与 之间的距离为（ ）
第1⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.1 B. C.2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过计算得出两直线的平⾏关系，再利⽤两平⾏直线间的距离公式计算求解．
【详解】 ，
直线 ，
直线 的⽅程即为 ，直线 的⽅程为 ， ，设两条平⾏线间的距离为
，
．
故选：D．
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 任何向量都可以作为基向量
B. 若 是直线 的⽅向向量，则 也是直线 的⽅向向量
C. 在空间直⻆坐标系中， 是坐标平⾯ 的⼀个法向量
D. 若直线 平⾯ ，则直线 的⽅向向量平⾏于平⾯ 的法向量
【答案】D
【解析】
【分析】根据零向量、基向量、直线⽅向向量、平⾯法向量的性质和定义依次判断各项的正误，即可得.
【详解】对于A，⾮零向量才能作 基向量，故A错误；
对于B，若 ，则 ，不是直线的⽅向向量，故B错误；
对于C，在空间直⻆坐标系中，坐标平⾯ 与 轴垂直，
故 不是坐标平⾯ 的⼀个法向量，故C错误；
对于D，若直线 平⾯ ，则直线 的⽅向向量平⾏于平⾯ 的法向量，故D正确.
故选：D
第2⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司4. 若直线 的倾斜⻆是直线 的倾斜⻆的两倍，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线 的斜率 ，设对应的倾斜⻆为 ，则 ，⼜ 的倾斜⻆为 ，则
，使⽤⼆倍⻆的正切公式求解即可.
【详解】因为直线 的斜率 ，设对应的倾斜⻆为 ，则 ，
由题意可得，直线 的倾斜⻆为 ，
故其斜率 ，解得 .
故选：C
5. 如图，已知四棱锥 平⾯ ，底⾯ 是矩形，且 ，若
，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解.
【详解】 , ，
所以 ，
第3⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，
所以
.
故选：A.
6. 圆 关于原点 对称的曲线的⽅程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆的⼀般式的判定条件可求出 ；再利⽤两圆关于点对称，等价于两圆的圆⼼关于点对称，半
径不变，可求出所求圆的⽅程.
【详解】由 表示⼀个圆，因此需满⾜圆的判别条件： 和 的系数
相等且不为零，
即 ，得⽅程 ，
解得 或 ，
当 时，⽅程 ，
配⽅得 ，不表示实圆，
当 时，⽅程为 ，
配⽅得 ，表示圆⼼为 ，半径为 5 的圆.
因此 是唯⼀有效解，原圆⽅程为 .
两圆关于点对称，等价于两圆的圆⼼关于点对称，半径不变，
圆⼼ 关于原点对称点为 ，半径不变为 5，
故所求⽅程为 .
第4⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：C
7. 已知 ，两直线 ，若 ，则 的最⼩值为
（ ）
A.3 B.2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的位置关系列⽅程得 关系，再根据基本不等式“ 1” 的代换求解最值即可.
【详解】两直线 ，
若 ，则 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 等号成⽴，则 的最⼩值为 .
故选：C.
8. 如图，正⽅体 的棱⻓为6，点 为 的中点，点 为底⾯ 上的动点，满
⾜ 的点 的轨迹⻓度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，利⽤坐标法可得动点 的轨迹为线段即可得结果.
【详解】分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
第5⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 ， ， ，设 ， ，
则 ， ，
由 得 ，即 ，
由于 ，所以 ， ，
所以点 的轨迹为⾯ 上的直线： ， ，即图中的线段 ，
由图知： ，
故选：B.
⼆､多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符
合题⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，由坐标运算 ，先求出 ，从⽽求出 ；选项B，利⽤向
量的数量积坐标运算求出 ；选项C，由坐标运算，求出 和 ，从⽽得解；选项D，利⽤坐
标运算 ，求出 和 ，使⽤公式 求解即可.
【详解】选项A， ， ，
第6⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，故选项A正确；
选项B， ，
，故选项B正确；
选项C， ，
，
，
则 与 不垂直，故选项C错误；
选项D， ， ， ，
则 ，故选项D正确.
故选：ABD
10. 已知实数 满⾜ ，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最⼤值是
B. 的最⼤值是
C. 的最⼩值是
D. 的最⼩值是
【答案】BD
【解析】
【分析】由 表示圆上的点到定点 距离的平⽅可得其最⼤值为 可判断A项，由
表示圆上的点 与点 的连线的斜率，设 ，由圆⼼ 到直线
的距离 求出k的范围即可判断B项，由 表示圆上任意
⼀点 到直线 的距离的 倍，结合圆上任意⼀点 到直线 的距离的最⼩值为
第7⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（ 为圆⼼C到直线 的距离），进⽽可判断C项，对于D,令 ，结合三
⻆函数的图像与性质求解即可.
【详解】因为 ，
所以圆C的圆⼼ ，半径为 .
对于A项， 表示圆上的点 到定点 距离的平⽅，如图所示，
所以 的最⼤值为 ，故A项错误；
对于B项， 表示圆上的点 与点 的连线的斜率，如图所示，
设 ，即 ，
由圆⼼ 到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，
所以 的最⼤值为 ，故B项正确；
第8⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对于C项， 表示圆上任意⼀点 到直线 的距离的 倍，如图
所示，
⼜圆⼼C到直线 的距离 ，
所以圆上任意⼀点 到直线 的距离的最⼩值为 ，
所以 的最⼩值为 ，故C项错误.
对于D项，因为 ，
令 ，所以 ，
所以当 时， 的最⼩值是
故选：BD.
11. 如图1，已知⻓⽅形 中， 为 的中点，将 沿 折起，使得平
⾯ 平⾯ ，如图2所示，在四棱锥 中，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 和 所成⻆为
C. 点 到直线 的距离为
第9⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司D. 若点 为线段 上的动点，且 的余弦值为 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】建⽴空间直⻆坐标系，应⽤向量法逐项判断.
【详解】取 中点 ，连接 ，因为 ， 为 中点，
所以 ，所以 ，
因为平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ， 平⾯
所以 平⾯ .
以 为原点，分别以过 与 垂直、平⾏的直线为 轴、 轴，以 所在直线为 轴，
建⽴空间直⻆坐标系，如图，
则 ，
对于A： ， ，所以 ，A正确；
对于B： ，设 和 所成⻆为 ，则 ，
⼜ ，所以 ，B错误；
对于C： ，则点 到直线 的距离
，C正确；
对于D：设 ，则 ，
所以 ， ，
设平⾯ 的法向量为 ，则 ，
第10⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司即 ，令 ，则 ，
所以 是平⾯ 的⼀个法向量.
设 是平⾯ 的⼀个法向量，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 是平⾯ 的⼀个法向量.
设⼆⾯⻆ ⼤⼩为 ，则 ，
解得 ，即 ，D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知圆 与圆 有三条公切线，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】⾸先判断两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系，列式求解.
【详解】圆 的圆⼼为 ，半径为 ，
圆 ，圆⼼ ，半径为 ， ，
因为两圆有3条公切线，所以两圆相外切，所以 ，所以 ，
故答案为：
第11⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司13. 已知向量 ， ， ，若 ， ， 共⾯，则x等于______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，利⽤空间共⾯向量定理求解作答.
【详解】向量 ， ， ，因 ， ， 共⾯，则存在实数 使得
，
于是得 ，因此 ，解得 ，
所以 .
故答案为：1
14. 若直线 与曲线 有4个交点，则 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定直线 恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线
的位置关系，数形结合求解即可.
【详解】直线 恒过点 且斜率存在的动直线，做出 的图像，如图
当 与 相切时有三个公共点，此时 ，过程如下：
因为 与 相切，联⽴ 得
，所以 .解得 舍去 .
第12⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以当 时直线 与曲线 有4个交点.
故答案为：
四､解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出必要的⽂字说明､证明过程及演算步骤．
15. 已知 的三个顶点 ．
（1）求边 上的中线所在直线的⼀般式⽅程；
（2）求边 上的⾼所在直线的斜截式⽅程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出边 的中点，再由点斜式⽅程求直线⽅程即得，最后化成⼀般式⽅程；
（2）利⽤两直线的垂直斜率之积等于 ，求得边 上的⾼的斜率，再由点斜式⽅程求直线⽅程，最后化
成斜截式⽅程即得.
【⼩问1详解】
设边 的中点为 ，由已知得 ，所以 ， .
所以边 上的中线所在直线的⼀般式⽅程为 .
【⼩问2详解】
易得 ，所以边 上的⾼的斜率 ，由点斜式可得： ，
所以边 上的⾼所在直线的斜截式⽅程 .
16. 如图，在平⾏六⾯体 中，以顶点 为端点的三条棱⻓都是2，且它们彼此的夹⻆都
是 ， 为 与 的交点．若 ．
（1）求 的值；
第13⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平⾏六⾯体的性质，结合已知条件得出各向量的模及夹⻆，再通过向量加减法，结合向
量的数量积计算；
（2）先⽤已知向量分别表示 ，再求出 以及 和 ，进⽽求解 ．
【⼩问1详解】
平⾏六⾯体 所有棱⻓均为2， 的模均为2，夹⻆均为 ， 为 与 的中
点，
， ，
，
．
【⼩问2详解】
，
，
，
第14⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
．
17. 如图，在四棱锥 中，底⾯ 是边⻓为1的正⽅形， 的体积为 ，
．
（1）证明：直线 平⾯ ；
（2）求直线 与平⾯ 所成⻆的正切值．
【答案】（1）⻅解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线⾯垂直判定定理得出 平⾯ ，利⽤向量法证明线⾯平⾏即可；
（2）利⽤向量法求出线⾯夹⻆的正弦值，进⽽求出正切值。
【⼩问1详解】
因为四边形 是正⽅形，所以 ，
⼜ 平⾯ ，所以 平⾯ ，
⼜ 平⾯ ，所以 ，⼜ 平⾯ ，
所以 平⾯ ，所以 两两垂直，
故以点 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴建⽴空间直⻆坐标系，如图所示：
第15⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，因为 ，所以点 为 的中点，
则 ，
则 ， ，
设平⾯ 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以
⼜ ， ，
⼜ 平⾯ ，所以直线 平⾯ ；
【⼩问2详解】
由（1）可知平⾯ 的法向量 ，
⼜ ，设直线 与平⾯ 所成⻆为 ，
则 ，
所以 ，
所以
18. 已知以点 为圆⼼的圆与直线 相切，过点 的动直线 与圆 相交于
两点．
（1）当 时，求直线 的⽅程；
第16⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）求证： 为定值．
【答案】（1） 或 ；
（2）证明⻅解析.
【解析】
【分析】（1）求出圆 的⽅程，根据 ，得 ，分斜率存在和不存在两种情况求解即可；
（ 2） 若 直 线 斜 率 存 在 ， 设 出 直 线 ⽅ 程 ， 直 线 和 圆 联 ⽴ ⽅ 程 结 合 ⻙ 达 定 理 可 得
，利⽤两点间距离公式列式化简即可，若直线 斜率不存在，
求得 ，计算即可得证.
【⼩问1详解】
设圆 的半径为 ，
因为圆 与直线 ： 相切，
所以 ，
所以圆 的⽅程为 .
设圆⼼ 到直线 的距离为 ，则 ，即 ，
①当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意；
②当直线 与 轴不垂直时，设直线的⽅程为 ，即 .
则 ，得 ，
所以直线 为： ，
故直线 的⽅程为 或 ；
第17⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼩问2详解】
因为 ，所以点 在圆 内，
设 ，若直线 斜率存在，设直线的⽅程为 ，
则 ，化简得 ，
所以 ，
因为 ，
同理可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
若直线 斜率不存在时，则 ，则 ，
此时 ；
综上， 为定值，定值为 .
19. 如图，在直四棱柱 中，底⾯四边形 为等腰梯形， ，
．
第18⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）证明： ；
（2）若直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 ，点 为线段 上⼀点，求点 到平⾯ 的
距离；
（3）求平⾯ 与平⾯ 夹⻆的取值范围．
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设 ，利⽤余弦定理，列出⽅程求得 ，取 的中点 ，连接 ，得
到 ，分别证得 和 ，利⽤线⾯垂直的判定定理，证得 平⾯
，即可证得 .
（2）以 为原点，建⽴空间直⻆坐标系，设 ，求得 和平⾯ 的法向量为
，结合向量的夹⻆公式，列出⽅程求得 ，再利⽤向量的距离（3）设 ，分别
求得平⾯ 和 的法向量为 和 ，利⽤向量的夹⻆公式，求得 的
表达式，结合函数的性质，即可求解.
【⼩问1详解】
证明：四边形 为等腰梯形， ， ．
设 ，
第19⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
所以 ，解得 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ，
在 中， ，则 ，所以 ，
在直四棱柱 中，可得 平⾯ ，
因为 平⾯ ，所以 ，
⼜因为 ，且 平⾯ ，所以 平⾯ ，
因为 平⾯ ，所以 .
【⼩问2详解】
解：以 为原点，以 所在直线分别为 轴，以过 点垂直于平⾯ 的直线 为 轴，建
⽴空间直⻆坐标系，如图所示，
设 ，可得 ，
则 ，
设平⾯ 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平⾯ 所成⻆为 ，因为直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 ，
可得 ，解得 ，
在直四棱柱 中，可得 ，
且 平⾯ ，且 平⾯ ，所以 平⾯ ，
因为，点 为线段 上⼀点，所以 到平⾯ 的距离等于 到平⾯ 的距离，
第20⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼜由 ，且平⾯ 的⼀个法向量为 ，
所以点 到平⾯ 的距离为 ，
所以点 到平⾯ 的距离为 .
【⼩问3详解】
解：由（2）中的空间直⻆坐标系，设 ，
可得 ，
则 ，
设平⾯ 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
⼜由 平⾯ ，所以 为平⾯ 的⼀个法向量，
设平⾯ 与平⾯ 夹⻆的夹⻆为 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以平⾯ 与平⾯ 夹⻆的取值范围 .
第21⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司第22⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
