文档内容
2024—2025 学年度上学期 2022 级
9 月月考数学试卷
命题人：郑华 审题人：裴艳
考试时间：2024年9月25日
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．集合 ，若 ，则集合 可以为（ ）
A. B. C. D.
2．若复数 ，则 （ ）
.
A 0 B. C. 1 D. 2
3．已知 ，若 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的
车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的
发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容
量 、放电时间 和放电电流 之间关系的经验公式： ，其中 为与蓄电池结构有关的
常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为 时，放电时间为
；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该蓄电池的Peukert常数 约为（参考数据：
， ）（ ）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
5．已知 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 与函数 的图象交点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定
义：设 为斐波拉契数列， ，其通项公式为
，设 是 的正整数解，则 的最
大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A．已知数据 ，满足： ，若去掉 后组成一组新数
据，则新数据的方差为168
B．随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
C．一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，则
D．对于独立性检验，随机变量 的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
10．如图，棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点，
为正方形 内一个动点（包括边界），且 平面 ，则下
列说法正确的有（ ）
A．动点 轨迹的长度为
B． 与 不可能垂直
C．三棱锥 体积的最小值为
D．当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，直线 经过 且与 交于
两点，其中点A在第一象限，线段 的中点 在 轴上的射影为点 .若 ，则
（ ）
A． 的斜率为 B． 是锐角三角形
C．四边形 的面积是 D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“ 使 ”为假命题，则实数 的取值范围为___________.
13．在 中， ，∠ ，D为线段AB靠近点 的三等分点，E为线段CD的中
点，若 ，则 的最大值为________.
14．将 这七个数随机地排成一个数列，记第 i 项为 ，若 ，
，则这样的数列共有 个．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 .
（1）求 的值；
（2）若 的面积为 ，求 周长的取值范围.
16．已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若数列 满足 ，且数列 的前n项和为 ，若
恒成立，求 的取值范围．
17．如图所示，半圆柱 与四棱锥 拼接而成的组合体中， 是半圆弧 上（不含
）的动点， 为圆柱的一条母线，点 在半圆柱下底面所在平面内，.
(1)求证： ；
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到直线 距离的最大值.
18．已知双曲线 的中心为坐标原点，渐近线方程为 ，点 在双曲线 上. 互相垂
直的两条直线 均过点 ，且 ，直线 交 于 两点，直线 交
于 两点， 分别为弦 和 的中点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 交 轴于点 ，设 .
①求 ；
②记 ， ，求 .
19．如果函数 F(x)的导数为 ，可记为 ，若 ，则
表示曲线 y=f(x)，直线 以及 轴围成的“曲边梯形”的面积. 如： ，其中 为常数； ，则表
及 轴围成图形面积为4.
(1)若 ，求 的表达式；
(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；
(3)若 ，其中 ，对 ，若 ，都满足
，求 的取值范围.
1．C
2．C 【详解】
3．B
4．D 【详解】由题意知 ，
所以 ，两边取以10为底的对数，得 ，
所以
5．C【详解】因为 所以 则
所以 则 ，
因为 ，所以 ，又 则 ，所以 故
因为 所以 则 .
解法二：∵ ，∴ ，∴ ，故选
C
6．B 【详解】∵ 恒成立，设 ，则当 时 ， 时
，∴ ，即 ，∴
7．A 【详解】设 ， 的定义域为 ，
① 当 时， ，此时 的图象与 的图
象没有交点，
② 当 时， ，此时两图象没有交点，
③ 当 时， ，此时两图象有一个交点，
④ 当 时， ，此时两图象没有交点，
⑤ 当 时， ，此时两图象有一个交点，
⑥当 时， ， ，设在 上单调递减， ，且 趋于
时， 趋于正无穷，∴存在 使得 ，且 时 ，∴
在 上单调递减，∴ ，即 ，
结合以上分析，画出f (x),g(x)在 上的函数图象可知，两图象在 上有一个交点，
⑥ 当 时，由对称性可知，两图象在 上有一个交点，
⑧当 时， ，此时两图象有一个交点，
当 时， ， ，注意到 ，
画出f (x),g(x)在 上的函数图象可知，两图象在 上有一个交点，
⑨当 时， ，此时两图象没有交点；
综上所述，函数 与函数 的图象交点个数为6.
8．A 【详解】由题知 是 的正整数解，
故 ，取指数得 ，
同除 得， ，故 ，即 ，
根据 是递增数列可以得到 也是递增数列，于是原不等式转化为 .
而 可以得到满足要求的 的最大值为5，故A正确.
9．BD 【详解】对于A选项，去掉 后的平均数为 ，
方差为 ，故A选项错误；
对于B选项，由于随机变量 服从正态分布 ，则 ， 关于1对称，则 故B选项正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，又因为回归方程为 ，
所以 ，所以 ，故C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量 的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，
故 越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确．故选:ABD.
10．ACD 【详解】对A，如图，令 中点为 , 中点为 ,连接 ，
又正方体 中， 为棱 的中点，可得 , ，
平面 , 平面 ,又 ，
且 平面 ， 平面 平面 ,
又 平面 ，且 平面 ， 平面 ，
又 为正方形 内一个动点（包括边界）， 平面 平面 ，而 平面
平面 ， ，即 的轨迹为线段 .
由棱长为2的正方体得线段 的长度为 ，故选项A正确；
对B，当 为线段 中点时，由 可得 ,又 中点为 , 中点为 ,
，而 ， ,故选项B不正确；
对C，由正方体侧棱 底面 ，三棱锥 体积为 ，
所以 面积 最小时，体积最小，如图， ，易得 在 处时 最小，
此时 ,所以体积最小值为 ，故选项C正确；
对D，如图，当 在 处时，三棱锥 的体积最大时，
由已知得此时 ,所以 在底面 的射影为底面外心，
, , ,所以底面 为直角三角形，
所以 在底面 的射影为 中点，设为 ，如图，设外接球半径为 ,由 , ,可得外接球半径 ，
外接球的表面积为 ，故选项D正确. 故选：ABD.
11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为 ，准线为 ，即 ，
设 ，
则 ，可得，因为 ，即 ，
可知 为等边三角形，即 ，
且 ∥x轴，可知直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，故A正确；
则直线 ，联立方程 ，解得 或 ，
即 ， ，则 ，
可得 ，在 中， ，且 ，
可知 为最大角，且为锐角，所以 是锐角三角形，故B正确；
四边形 的面积为 ，故C错误；
因为 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
12． 【详解】因为“ 使 ”为假命题，
所以“ ， ”为真命题，其等价于 在 上恒成立，
又因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .
13 ．
14．360【解析】∵ ，∴ ，
列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3
个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计
有 个这样的数列。
15．【解析】（1）设 ， ，在 中，由正弦定理得 ，
， ，代入已知化简得 ，
又在 中有： ，即 ，
【方法一】∵ ，
即 ，所以 ，所以 .
【方法二】∵ ，
即 ，所以 ，所以 .（2）在 中有 ，
， ， 由 正 弦 定 理 得 ： ， ，
，
因在 中， ， ， ，
所以， ，当 时，等号成立，∴ 周长 的取值范围是
.
16．【解析】（1）∵ ，当 时， ，
两式相减得： ，整理得 ， ……4
分
∵ ，∴ ，当 时， ，
∴ （舍）或 ， ……6分
∴ 是以1为首项，1为公差的等差数列，则 ； …… 7分
（2）由（1）知， ， ……9分
∴ ，……10分 由 ，令 ，…11
分
则 时， ……13分
所以 ，即随着 增大， 减小，
所以 ． ……15分
17．【详解】（1）取弧 中点 ，则 ，以 为坐标原点，直线 分别为
轴建立空间直角坐标系，连接 ，在 中， ， ，则，于是 ，
设 ，则 ，其中 ， ，
因此 ，即 ，所以 .
（2）由 平面 平面 ，得 ，
又 ，则 ，而 平面 ，
则 平面 ，即 为平面 的一个法向量，
，由 平面 ，得 ，
又 ，解得 ，此时 ，
设 是平面 的法向量，则 ，取 ，得 ，
设 是平面 的法向量，则 ，取 ，得 ，
则平面FOD与平面 夹角的余弦值为 .
（3） ，
则点 到直线 的距离 ，
当 时，即 的坐标为 时，点 到直线 的距离取最大值为
18．【详解】（1）∵渐近线方程为 ，可设双曲线方程为 ，∵点 在双曲线 上，∴ ，所以 的方程为 ；
（2）①当直线 中又一条直线的斜率为 ，另一条直线的斜率不存在是，
直线 与 轴重合，不符合题意；所以直线 的斜率均存在且不为 ，
解法一：A(x ,y )，B(x ,y )， ， ，设 的方程为 ，由
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，得 ，
∴ 恒成立， ，∴ ，∵ ∴
∴ ，同理
因为 、 、 三点共线，所以 ，∴
化简得： ；
解法二：设 的方程为 ，A(x ,y )，B(x ,y )， ， ，
1 1 2 2
由 ，得 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，同理可得 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
② ，
所以
，
设 ，则 ，
所以 ，
∴ ，
∴ ，故 .
19．【详解】（1） ，其中 为常数.
而 ，即 ，所以 ，所以 .
（2）联立 ，解得 ，
当 时， ，令 ，
则围成的面积
（3）令 ，
由题意可知， ，满足 ，
即 ，即 在 上单调递增，进而 在 恒成立， 在 恒成立. ，
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为增函数，故 ；
若 ，则 时， ，故 在 上为减函数，
故 时， ，与题设矛盾；
故 .
【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用 ，都满足 ，得出函数
在 上单调递增，再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围.
