{#{QQABAYIEgggoAIAAARgCAwU6CgKQkBGCAYgGAEAEoAABARNABAA=}#}{#{QQABAYIEgggoAIAAARgCAwU6CgKQkBGCAYgGAEAEoAABARNABAA=}#}{#{QQABAYIEgggoAIAAARgCAwU6CgKQkBGCAYgGAEAEoAABARNABAA=}#}{#{QQABAYIEgggoAIAAARgCAwU6CgKQkBGCAYgGAEAEoAABARNABAA=}#}2024 年 9 月高三起点联考数学答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分．
9. 10. 11.ABD
11 .解 析 ：
A. 时，
' 2
=在1 ， 递增= 6， −，6 递=减6 ， −，1 , 递增，
−极∞大0值 0 1 1 +∞
,A正确；
极小值
= 0 = > 0,
∴
B.由 （ 1）知：= 在1 =， −递1 减<，0 当 时， ,B正确；
2
C.因为 ( ) 0 1 ∈ 0, 0 < sin < sin < 1
所以 1关−于 =，2−对 称 ，, 则 ,得 ,C错误；
1 1
D.由题 意知： 2 1 2 = 1 2 −， ①= 2
' 2
又由 0化 = 简 6 得 0： −6 0 +1− = 0
0 = 1 ,
2 2
( 因 0为 − 1)[2 , 所0 以 + 1 0 + 1 −3 0 + 1 +(1− )] = 0 ， ②
2 2
① ②0化 ≠ 简 1可得,D2 正 确0 .+ 1 0 + 1 −3 0 + 1 + 1− = 0
三、
−
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. ≤ 2
14.−1 ,
3 −5 2 −4
14.解
4
析：
3
分析 ,可知函数 单调递减，在 ， 中心对称，
得： ,将不等式 ，变形得
= sin − +1 (0 1)
所以得 变形 得：
− + = 2 ( )+ (− − +2)>2
( )> ( + −2), < + −,2
−1 <( −2,)
( −2)
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−1 < ,
学科网（北京）股份有限公司 1 5据图可得：
解得 , .
(4−2)
4
4−1 < 3 −5 2 −4
(5− 5 ,2) ∈ 4 3
四 、5解−答1题≥：本 题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.解： 证明：因为 ,
所以 1 , =1−
两式相 +减1得=：1− +1 , 分
所以数列 为 等 = 比 2 数 列 +1 ，...公.....比................,............3
1
=2
当 时， ,所以 分
1
=1 1 =1− 1 1 =2..................4
所以 分
1
= 2 ..................5
（2） ,所以 分
1
=1− =1− 2 ..................7
, 分
2 1 1
=1+4 −2 −1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
1 1 1 1 1 1
= + + 2+⋯+ −2 + 2+⋯+ ⋯⋯⋯11
4 4 4 2 2分 2
1 1 5
= + −1− − ⋯⋯⋯⋯⋯13
2 3×4 3
16.解：
2 1 1+cos2 1 1 1 2
(1) ( )= sin ·cos + =2sin2 + 2 =2sin2 +2cos2 +2= 2 sin(2 +
， 分
1
4)+2 ....................................1
因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，即 ， 分
2
( ) =2 = =1 ....................................2
所以 ， 分
2 1
令 ( )= 2 sin(2 +4)+2 ............ ， ............................................................3
−2+2 ⩽2 +4⩽2+2 ( ∈ )
解得 ，
3
− 8 + ⩽ ⩽8+ ( ∈ )
所以 的单调递增区间为 ， 分
3
( ) [− 8 + ,8+ ]( ∈ ) ....................................5
令 ，解得 ，
2 +4 = ( ∈ ) =−8+2 ( ∈ )
所以 的对称中心为 分
1
( ) (−8+2 ,2)( ∈ );..................7
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学科网（北京）股份有限公司 2 5将函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数 的图象，
1
(2) ( ) 8 2 ( )
则 ， 分
1 2 1 1 2
所 以 函=数 −的8 最−2小=正2周si期n 为2 ，−8 +4 +2−分2 = 2 sin2 ....................................9
由 ( ) 知， ..................10
∗
+1 − = 3( ∈ ) ,
1 + 2 + 3 = 4 + = 5 0，+ 6 = ⋯ =分 2020 + 2021 + 2022
2 2 2
所以 1 + 2 + 3 = 2 − 4 − 4 ..................13 分
2
17.解 ： 1 + 的 2 定+义⋯域+为 ， 2024 = , 2023 + 分 2024 = 1 + 2 = 4 . ..................15
1 0 +∞ ..................1 分
' 2 3
= +2 − +3 ...............................................................2
由题意知： ,所以 分
' 3 1
1 = −2 =−1 =2.......................................................4
分
3 7
1 =4− −3=−1+ , =−4.........................................................................6
' 2 3 (3 −2 )( −2)
2 = + − +3 =
令 2 2 分
' 2
当
=
时
0
，
⟹ 1 =2, 2 =3 ,........................................................................7
≤所0以 在 单调递减， 单调递增； 分
当 ( )时，(0,2) (2,+∞) ............................9
0 所 < 以 <3 在 0< 2 单 < 调 递 1 增， 单调递减， 单调递增； 分
2 2
当 时
(
，
) (0,3 ) (3 ,2) (2,+∞) ..................11
=3 1 = 在2 =2, 单调递增； 分
'
当 ( )时≥，0, ( ) (0,+∞) ..................13
2
>3 0< 1 =2< 2 =3 ,
所以 在 单调递增， 单调递减， 单调递增 分
2 2
( ) (0,2) (2,3 ) (3 ,+∞) . .....................................15
18.解： 分
2 2
1−cos 1− 1−2sin 2 2sin 2
1 sin = 2sin 2cos 2 = 2sin 2cos 2 = tan2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3
sin 2sin2cos2 2sin2cos2
2 2
1+cos = 1+(2cos 2−1) = 2cos 2 = tan2 ,
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学科网（北京）股份有限公司 3 5故 分
1−cos sin
(2)tan2 = sin = 1+cos . ⋯⋯⋯⋯⋯6
(i)由题意设 ,由三角形三边关系知
2
= , =
> 0 分
2
+ >
2 ⋯⋯⋯⋯⋯8
+ >
2
解 之 + 得 ： > 分
5−1 5+1
（ ） ∈ 2 , 2 ....................................10
由ii(1)的结论可知
分
sin 1−cos sin 1−cos
tan tan = ⋅ = ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12
2 2 1+cos sin sin 1+cos
2 2 2 分
+ − 2
1− + − + −
2
= ⋅ 2 2 2 = = 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14
+ − + + + +
1+
2 分
2 2
1+ − 1+ + −2 2
= 2 = 2 = 1− 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15
1+ + 1+ + 1+ +
分
2 1 3− 5
= 1− ∈ [ , )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16
1 3 2
+ +1
故 的取值范围为 分
1 3− 5
tan2tan2 [3, 2 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17
19.解：（1）当 时， 显然成立；
当 时， ≥1 sin . <
即证0< <1 ， sin =.sin ※ 2分
构造 sin < ∈ 0,1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
= −sin ,. ∈ (0,1) 在 单调递增，
' =1−cos ,≥即0※式∴成 立 (0,1)
综上 ：> 0 =0， 4分
(2)当 |sinx|时<， >0 ⋯⋯⋯⋯ , ⋯⋯⋯
' −1
当 >1时， ℎ 单=调s递in 减−， ,ℎ 单=调c递os增 ，−
−1
∈ (在0,1) 单c调os递 减， 6分
'
∴ℎ (0,1) 第⋯页⋯，⋯共⋯⋯页⋯⋯
学科网（北京）股份有限公司 4 5又 ,
' '
ℎ 0 =1在>(00,,ℎ1)1存在=唯co一s1零−点1，<记0 为 , 8分
'
∴ℎ =在0(0, )单调递增，在( ,1)单调 0递减， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分
∴ℎ( ) 0 ,证毕. 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分
∴(3ℎ) 0 >ℎ 0 =0 即 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1
< , >0, sin ∙sin < , >0,
若 与 异号，显然成立，只考虑 与 同号， 11分
1 1
sin sin sin sin ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
又 时， 命题成立； 时， ，命题成立， 2分
2 1
=1 sin 1<1 >1 >1 ≥ sin ∙sin ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1
故只需考虑 时， ※※ 13分
1
∈ 0,1 sin ∙sin < , >0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
若 ， ※※式成立（用（1）结论），
1 1
0< ≤ 1 sin ∙sin = sin ∙ sin ≤ sin < ≤ 15分
若 ,取 ,取 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
∗ 1 1
>1 ∈ , > 0 1 =(2 + 1 2) ∈(0, 0)
(由（2）结论), ※※式不成立， 16分
1 1
s 综 in 上 1 ： ∙sin 1 =sin . 1sin 2 +2 =sin 1 > 1 17分⋯⋯⋯⋯⋯
0< ≤1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
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