文档内容
高二数学试卷参考答案
!
!!#!所求三角形的面积"$ &’&%$’!
%
##"
%!(!因为!!#$$")!#)%#%$!"%*"#)%%)’#)’$$)%)"*+%*")"$,#所以%$%!
##" ##" ##" +##" ! ##" ##" +##" !##" !##"
’!-!由题意知&’$&(*(’$) (#* "($*()$$) (#* ($* ()#
. % . % %
##" ##" ##" ##" + ! !
因为&’$*(#*+($*,()#所以*$) #+$ #,$ #则.**+*,$)’!
. % %
+!/!因为该圆经过原点(和点#"%#)+$#所以圆心在线段(#的中垂线上#易知线段(#的
%*)%+).$,#
中垂线方程为*)%+).$,#由$ 解得圆心坐标为"1#!$#圆的半径为槡.,#所
&**+)0$,#
以该圆的方程为"*)1$%*"+)!$%$.,!
##" ##"
.!/!因为$#$")%#+#%$#$)$")+#’#,$#所以$)$槡+%*’%$.#点#到$)的距离为
##" ##"
##" "$#!$)$% "%,$% !
槡$#%) ’$ ##" )’ $槡%+) . $%槡%#则" (#$) $ % &%槡%&.$.槡%!
"!-!以(为原点#建立如图所示的空间直角坐标系#不妨设(#$
"槡’ ! $##"
!#则#",#!#,$#$",#)!#,$#"",#,#%$#) # #, #"$$",#
% %
##" "槡’ ! $
)!#)%$##)$ #) #, #所以异面直线#)与"$所成角
% %
!
##" ##"
’"$!#)’ % 槡.
的余弦值为 ##" ##" $ $ !
’"$’’#)’ 槡. !,
"**!,$%*+%
1!(!设区域边界上任意点&"*#+$#则 $’#所以"*)%,$%*+%$’,,!
"*)!,$%*+%
’%,%’
设直线-的方程为+$%*#则 )!,槡’#所以%)槡’或%*)槡’#
槡!*%%
"! %!$
所以直线-倾斜角的取值范围为 # !
’ ’
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$%&
书书书0!#!以#为原点#建立如图所示的空间直角坐标系#不妨设#$$%#
"槡’ ’ $##" "槡’ ’ $
则#",#,#,$#)",#%#,$#.",#,#%$#/ # #+ #./$ # #% #
% % % %
##"
#)$",#%#,$!设平面#)0的法向量为!$"*#+#,$#
##"
%!!#)$%+$,#
则$
##" 槡’ ’
令*$+#得!$"+#,#)槡’$!
!!./$ ** +*%,$,#
& % %
取平面#$)的一个法向量为"$",#,#!$#
"!! )槡’ )槡.1
则234%"#!&$ $ $ #
’"’’!’ 槡!5 !5
槡.1
所以平面#)0与平面#$)夹角的余弦值为 !
!5
!
5!#-!因为-+-#所以%1"1)!$$)1#解得1$,或1$ !
! % %
当1$,时#直线-#- 的方程分别为*$!和*$)!#则-#- 之间的距离为%’
! % ! %
!
当1$ 时#直线-#- 的方程分别为**+)!$,和**+*%$,#则-#- 之间的距离2$
% ! % ! %
’槡%
!
%
!,!#-!圆(的圆心为(",#,$#半径3$’!
对于##因为’(0’$槡"槡%$%*")槡’$%$槡.*’#可知点0在圆(内#
可得圆心(到过点0的直线的距离2,(,#槡.)#
所以’#$’$%槡3%)2%$%槡5)2%,(+#")#故#正确!
’,),)%’
对于-#因为圆心(到直线-*槡’*)+)%$,的距离2$ $!#
槡!%*")槡’$%
且圆(的半径为’#所以圆(上有+个点到直线-*槡’*)+)%$,的距离为!!5#故-
正确!
对于(#圆)*"*).$%*"+)!%$%$4%的圆心为)".#!%$#半径为4#则’()’$槡.%*!%%$
!’#若圆(与圆)没有公切线#则两圆内含#所以’()’*’3)4’#即!’*’’)4’#解得4)
!"#又4),#所以4的取值范围为"!"#*6$#故(错误!
对于/#设5"1#"*1$#以(5为直径的圆为*"*)1$*+"+)")1$$,#
整理得*%*+%)1*)"1*"$+$,#
由题意可知#直线)6为圆5与圆(的公共弦所在的直线#
可得)5*1**""*1$+$,#整理得1"**+$*"+)5$,#
% ’
*$) #
+**+$,# % " ’ ’$
令 解得$ 所以直线)6必过定点 ) # #故/错误!
"+)5$,# ’ % %
+$ #
& %
!!!#(/!以6为原点#建立如图所示的空间直角坐标系#则6",#,#,$##"%#,#,$#$"%#%#,$#
!高二数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
!"#$%&)",#%#,$#6 ",#,#%$#/",#%#!$!
!
##" ! ##" ! ##"
由60$ % !6#* % "66 ! $"!#,# " $#知0"!#,# " $!
##" ##" ##" ##"
对于##0"%#,#!$#/0$"%#)%#,$#6$$"%#%#,$#/0!6$$
"%#)%#,$!"%#%#,$$,#所以/0-$6##正确!
##" ##"
对于-#设平面$6/的法向量为!$"*#+#,$#6$$"%#%#,$#6/
$",#%#!$#
##"
+!!6$$%**%+$,#
则
##"
令*$!#得!$"!#)!#%$#
!!6/$%+*,$,#
##" ##"
因为0"!#,#%$#)",#%#,$#所以)0$"!#)%#%$#因为)0$"!#)%#%$与!$"!#)!#%$不
是共线向量#所以)0不垂直于平面$6/#所以-错误!
对于(#作/.-66
!
#垂足为.#连接0.##0#则0.$槡")%%$槡%#所以点0"!#,#
"
$在
以.",#,#!$为圆心#槡%为半径的圆上!因为$0$槡#0%*+#"#0$ $槡.)槡%#所以$0
789
的最小值为槡!!)%槡!,$槡!,)!#所以(正确!
对于/#因为($)$ 为等腰直角三角形#所以三棱锥07$)$ 外接球的球心在过)$ 的中
! ! !
点且垂 直 于 平 面 $)$ 的 垂 线 上#设 球 心 ("!#8#!$!因 为 (0$($#所 以
!
槡"!)!$%*8%*" ")!$% $ 槡%*"8)%$% $3 "3 为 球 ( 的 半 径$#所 以 8$
")"!)!$%)" ")!$% ( ’)
, !# #所以3 $槡’#故三棱锥07$)$ 外接球表面积的最大
+ % 7:; !
值为!%!#/正确!
!%!*)+)!$,!因为反射光线所在直线经过点",#)!$和"’#%$#所以反射光线所在直线的方
程为*)+)!$,!
!’!+!连接)&#)’"图略$!因为 &’ 是圆) 的切线#所以 &’-)’!又’)&’
$槡"+)!$%*"%*%$%$.#所以’&’’$槡.%)5$+!
!+!%!以$为原点#建立如图所示的空间直角坐标系#则$",#,#,$#
##" ##"
#",#!#,$#)"槡’#,#,$#设点6"*#+#,$#则#)$"槡’#)!#,$#$6
$"*#+#,$!
+"*)’$%*+%*,%$!#
因为6)$!#6#$槡’#所以
*%*"+)!$%*,%$’#
所以槡’*)+)%$,#
##" ##"
所以#)!$6$"槡’#)!#,$!"*#+#,$$槡’*)+$%!
%)! !
!.!解*"!$直线-的斜率为 $) #,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
)!)! %
! ! ’
直线-的方程为+)!$) "*)!$#它的斜截式方程为+$) ** ! ,,,,,.分
% % %
!
"%$因为直线- 平行于直线-#所以直线- 的斜率为) ! ,,,,,,,,,,,1分
! ! %
!
又直线- 经过点)"%#)%$#所以直线- 的方程为+*%$) "*)%$#它的一般式方程为
! ! %
!高二数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$%
!"#$%&**%+*%$,!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5分
"’$因为直线- 垂直于直线-#所以直线- 的斜率为%!,,,,,,,,,,,,!!分
% %
又直线- 经过点6"%#,$#所以直线- 的方程为+),$%"*)%$#它的一般式方程为%*)
% %
+)+$,!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!’分
##" ##" ##" ##" !
!"!解*"!$#&$#$*$)*)&$#*$* %#,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
%
##" ! 5 ! !
因为’#&’%$#%*$%* %%*%#!$*#!%*$!%$+*+* *%&’& *%&’& $
+ + % %
". ##" 槡".
#所以’#&’$ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
+ %
##" ##" " ! $ ! ! ! 5 %!
"%$## !#&$%!#*$* % $%!#*%!$* %%$’&%& *’&%& * $ &
! % % % % % %
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5分
##" ##" ##" ##"
"’$因为$)$$##)$#*$*%#所以$)!#)$$!"#*$*%$$$!#*$%*$!%$+*
! !
!
%&’& $1!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
%
##" ##"
又’$)’$%#’#)’$槡"#*$*%$%$槡#%*$%*%%*%#!$*%#!%*%$!%$槡%5#,,
!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!’分
##" ##"
所以234%$ ##" )## ## ) " ! &$ ’$ $ ##" ) )’ ! ’ # # ## ) ) " ! ’ $ %槡 1 %5 $ 1 . 槡 0 %5 #
!
1槡%5
所以异面直线$)与#) 所成角的余弦值为 !,,,,,,,,,,,,,,!.分
! .0
!1!"!$证明*连接#)!因为/#.分别是#$#$) 的中点#
! !
所以/.+#)! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
!
因为/..平面#))# ##)/平面#))# #
! ! ! ! !
所以/.+平面#))# ! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.分
! !
"%$解*以$为坐标原点#$)#$##$$ 所在直线分别为*轴-+轴-,轴#建立如图所示的
!
" ’ $
空间直角坐标系#则$",#,#,$##",#’#,$#)"+#,#,$## ",#’#’$#)"+#,#’$#/,# #, #
! ! %
" ’$
.%#,# #,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0分
%
##" " ’ ’$##" ##" Z
所以/.$ %#) % # % #$# ! $",#’#’$#$)$"+#,#,$! ,!,分 #
设!$"*#+#,$是平面#$)的法向量#
!
##" ! "
+!!$)$,# ++*$,#
则
##"
即 ,,,,,,,,,,,,!%分 X &
!!$# $,# ’+*’,$,# #
!
取,$!#得!$",#)!#!$!,,,,,,,,,,,,,,!’分
设/.与平面#$)所成的角为##
!
Y ! % "
!高二数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$%
!"#$%&##"
##" ’/.!!’ ’ ’槡!1
则489#$’234%/.#!&’$ ##" $ $ #
’/.’’!’ 槡’+ !1
&槡%
%
’槡!1
即/.与平面#$)所成角的正弦值为 !,,,,,,,,,,,,,,,,!.分
! !1
!0!"!$证明*设#)与$6交于点(#连接0("图略$!因为底面#$)6为正方形#所以$6-
#)! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
又(0$6是等边三角形#(是$6的中点#所以$6-0(!,,,,,,,,,,,+分
因为#)00($(#所以$6-平面0#)!,,,,,,,,,,,,,,,,,,.分
"%$解*由"!$知$6-(##$6-(0#所以10(# 是二面角07$67# 的平面角#则
槡’
23410(#$ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
’
因为#$$#6$%#所以#)$$6$%槡%#又(0$6是等边三角形#所以(#$槡%#(0$
槡"#所以0#%$(#%*(0%)%(#!(0!23410(#$+#
所以0#$%!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0分
因为0#%*#$%$0$%#0#%*#6%$06%#所以0#-#$#0#-#6#
因为#$0#6$##所以0#-底面#$)6!,,,,,,,,,,,,,,,,,5分
以#为坐标原点##$##6##0所在直线分别为*#+#,轴#建立空间直角坐标系"图略$#
则$"%#,#,$#)"%#%#,$#6",#%#,$!
设/",#,#!$",*!*%$满足条件#
##" ##" ##"
则)6$")%#,#,$#6/$",#)%#!$#$6$")%#%#,$!,,,,,,,,,,,,!!分
##"
+!!)6$,# +)%*$,#
设平面)6/的法向量为!
!
$"*
!
#+
!
#,
!
$#则
!
!
!6 ## / " $,#
即
)%+
!
*!,$,#
! ! !
取,$%#则!$",#!#%$!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!’分
! !
##"
设平面$6/的法向量为!
%
$"*
%
#+
%
#,
%
$#则 +!
!
% !
!
$
6 ##
6
/ "
$
$
,
,
#
#
即 +)
)
%
%+
* %
*
*
!
%
,
+ %
$
$
,
,
#
#
% % %
取,$%#则!$"!#!#%$!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!.分
% %
!!! !%*+ 槡!%*+ !
所以234%!#!&$ ! % $ $ $ #化简得!%$)"#无实
! % ’! ! ’’! % ’ 槡!%*+!槡%!%*+ 槡%!%*+ %
根#所以在线段#0不存在点/#使得平面)6/与平面$6/的夹角为",
