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黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知直线的方程为 ，则其倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．直线 ，无论 取何值，该直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线 ： 与 ： ，若 与 互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B．1 C． D．
4．过点 作圆 ： 的切线 ，则 的方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
5．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成
出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦
点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远
距离叫远地距离．设地球半径为 ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为 ，远地距离为 ，则神舟十
六号的飞行轨道的离心率为（ ）A． B． C． D．
6．已知 ， ，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点
M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 、直线 的距离之和的
最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
8．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过右焦点 的直线与 交于 两点，且
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．方程 表示的曲线为 ，下列正确的命题是（ ）
A．曲线 可以是圆 B．若 ，则曲线 为椭圆
C．曲线 可以表示抛物线 D．若曲线 为双曲线，则 或
10．已知圆 与圆 交于 两点，则（ ）
A．圆 与圆 有两条公切线B．直线 的方程为
C．
D．线段 的垂直平分线的方程为
11．双曲线 的左、右焦点分别为 ，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则双曲线的离心率为
B．若双曲线的渐近线方程为 ，则
C．若双曲线的焦距为 为该双曲线上一点，且 ，则
D．若点 为双曲线上一点，且 ，则
三、填空题
12．已知直线 与直线 互相垂直，则 的值为 ．
13．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 ，则
.
14．已知椭圆的标准方程为 ，右顶点为 ，左顶点为 ，设点 为椭圆上一点， 的
面积的最大值为2，则 的值为 ；若已知点 点 为椭圆上任意一点，则
的最小值为 ．
四、解答题15．如图，在直四棱柱 中，侧棱 的长为3，底面 是边长为2的正方形， 是棱
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
16．已知直线 经过点 ．
(1)指出直线斜率为何值时，坐标原点到直线 的距离最大？并求出 的方程；
(2)若 与圆 相交于 两点， ，求 的一般式方程．
17．已知点 在抛物线 上．
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 与抛物线交于M、N两点，求弦长 ；
(3)过点 的直线 交抛物线 于 两点，设直线 的斜率分别为 为坐标原点，求
的值．
18．已知椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ．
(1)求出椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点．
（i）当线段 的中点坐标为 时，求直线 的方程．（ii）若直线 分别与 轴交于 两点，且 ，试探究此时直线 是否恒过一个定点，若是，
求出该定点，若不是，说明理由．
19．已知双曲线 的渐近线方程为 ， 与 轴的正、负半轴分别交于 ，
两点，过点 的直线 与 的右支交于 ， 两点．
(1)若直线 的斜率存在，求出直线 斜率的取值范围；
(2)探究： 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中 ， 分别表示直线 ，
的斜率）；
(3)若直线 ， 交于点 ，且 ，求直线 斜率的取值范围．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B D B B A AD ABD
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】设直线的倾斜角为 ，直线斜率为 ，且 ，
由题意得斜率 ，由斜率的几何意义得 ，
解得 ，选项C正确.
故选：C
2．B
【详解】 ，即 ，
当 时，解得 ，
故该直线过定点 ，
故选：B.
3．C
【详解】若 与 互相平行，则需满足 ，解得 ，
故直线 ： 与 ： ，
故两直线间距离为 ，
故选：C
4．B
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径 ，
点 到直线 的距离为 ，则直线 的方程可为 ；
当 的斜率存在时，设 的方程为 ，由直线 与圆 相切，得 ，解得 ，则 的方程为 ，即 ，
所以直线 的方程为 或 .
故选：B
5．D
【详解】根据题意： ， ，解得 ， ，
故离心率 .
故选：D
6．B
【详解】设动点 ，
由于 ， ，根据直线 与 的斜率之积为 ．
整理得 ，化简得： ．
故选：B
7．B
【详解】由题意可得，抛物线 的焦点 ，准线 ．
点 到直线 的距离为 ．
点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
当且仅当点 在点 到直线 的垂线上且 在 与 之间，即 时（如图），等号成立，
故动点 到直线 、直线 的距离之和的最小值是2.故选：B
8．A
【详解】
设 ，因为 ，所以 ，
由椭圆的定义可得 ， ，
因为 ，在 中由勾股定理得 ，解得
所以 ， ，
在 中由勾股定理得 ，从而可得 .
故选：A
9．AD
【详解】对于A，若曲线 是圆，则 ，解得 ，A正确；
对于B，由选项A知，当 时，曲线 是圆，不是椭圆，B错误；
对于C，曲线 有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误；
对于D，若曲线 为双曲线，则 ，解得 或 ，D正确.
故选：AD10．ABD
【详解】由 ，则圆心 ，半径 ，
由 ，则圆心 ，半径 ，
所以 ，即 ，故两圆相交，
所以圆 与圆 有两条公切线，A对；
两圆作差有 ，整理得 ，B对；
由 到 的距离 ，则 ，C错；
由B知 ，则线段 的垂直平分线的斜率 ，
故线段 的垂直平分线的方程为 ，D对.
故选：ABD
11．ABD
【详解】对A： 时， ，所以 ，则 ，故A正确；
对B：由 ，故B正确；
对C：因为 ， ，所以 .又 ，所以 点在双曲线的左支上，由
，故C错误；
对D： 为双曲线上一点，则 ，又 ，所以 ，
所以 .
不妨设 在第一象限， ， （ ），且 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD
12．
【详解】由直线垂直得到 ，
解得： ，
故答案为：
13．
【详解】由抛物线定义可得 ，又 ，
所以 ，则 ，
所以抛物线 的方程为 ，
因为点 在 上，
所以 ，又 ，则 .
故答案为：
14． 2
【详解】由已知条件可得 、 ，
设 ，因为点 为椭圆上一点，
所以 ， ， ，
所以 的面积 ，当且仅当 时取等号，
所以当 的坐标为 或 时 的面积取最大值，最大值为 ，
由已知可得 ，所以椭圆方程为 ，
所以 、 分别为椭圆的左､右焦点，
所以 ，所以
所以
故
所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，建立以 为原点的空间直角坐标系，
由侧棱 的长为3，底面 是边长为2的正方形，
得 ，
由 是棱 的中点，得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量，
显然 ，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
（2）由（1）知平面 的一个法向量为 ，
而平面 的一个法向量为 ，
因此 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
16．(1)斜率为3，
(2) 或 .
【详解】（1）设 ，
当 时，坐标原点到直线 的距离最大，
则 ，
则 的方程为 ，
即（2）圆C： 的圆心 ，半径 ，
由 ，得圆心 到直线 的距离 ，
当l的斜率不存在时，点 到直线 的距离为1，
因此l的方程可以为 ；
当l的斜率存在时，设l的方程为： ，即 ，
于是 ，解得 ，l的方程为 ，
所以直线 的一般方程为 或 .
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由点 在 上，
可得： ，即 ，
所以抛物线方程为： ；
（2）由方程 知，直线过抛物线焦点，
联立 消去 可得： ，
即 ，则 ，
所以
（3）由已知直线 的斜率不为0，又因为过点 ，故设其方程为 ，设 .由 得 ，显然 ，
， ，
则 ，
所以 ．
18．(1)
(2)（i） ，（ii）过定点 .
【详解】（1）由焦点坐标得 ，
又 ，得 ，
所以 ，
则椭圆C的标准方程为 .
（2）（i）设 ，
则 和 ，
两式相减化简可得： ，
又 ，代入可得： ，所以直线 的方程为 ，
即 ；
（ii）①若直线 斜率不存在，根据对称性可知 为等腰直角三角形，
得到 ，此时 ，
则直线 ，与椭圆方程联立，
解得 ，故直线 过椭圆左焦点，即 ，
②若直线 斜率存在，如图，设 ，
联立方程组 ，消去 得 ，
由韦达定理可知 ，
由已知得 ，且设 ，
可以求出直线方程为 ，
令 ，得到 ， ，
故 ，又因为 ，
故 ，代入韦达定理得 ，
求得 ，即 ，得到 或 ，
当 时，直线 过 ，此时 三点重合，不符合题意；
当 时，直线 方程为 ，此时直线AB过定点
综上所述：直线 过定点 ．
19．(1)
(2)是，
(3)
【详解】（1）双曲线 的渐近线方程为 ，
又双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，
易知直线 的斜率不为 ，设 ， ，直线 的方程为 ，
联立双曲线 与直线 消元整理得 ，
所以 ，解得 ，
再由斜率 存在以及 可得， 的取值范围为 ；
（2）依题意， ， ，结合（1）由韦达定理可知，
， ，
于是 ，因此
，
即 是定值，定值为 ；
（3）由（2）可知， ，
令 ，则 ，
所以直线 与直线 的方程分别为 ， ，
由 ，解得 ，即交点 的横坐标为 ，
故
，
又 ，即 ，即 ，又 ，即 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，
故 的取值范围为 .
