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新蔡县第一高级中学高二 2024 年 10 月份月考数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
的
1. 已知 两点都在直线 上，且 两点横坐标之差为2，则 面积为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知点 为直线 上任意一点，则 的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 曲线 与 轴围成区域的面积为（ ）
.
A B. C. D.
4. 已知曲线 ，设曲线 上任意一点 与定点 连线的中点为 ，则动点 的轨迹方
程为（ ）
A. B.
.
C D.
5. 若过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆 的左、右焦点为 为 在第一象限的两个动点，且
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学科网（北京）股份有限公司，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线的右半支上，点 ，则
的最小值为（ ）
A. B. 4 C. 6 D.
8. 已知椭圆 ： 经过点 ，右焦点为 ， ， 分别为椭圆 的上
顶点和下顶点，若过 且斜率存在的直线 与椭圆 交于 两点，直线 与直线 的斜率分别
为 和 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0分.
9. 已知圆 ，直线 ，则（ ）
A. 直线 恒过定点
B. 直线l与圆C有两个交点
C. 当 时，圆C上恰有四个点到直线 的距离等于1
D. 圆C与圆 恰有三条公切线
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学科网（北京）股份有限公司10. 曲线 被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（
）
A. 曲线C关于直线 交于不同于原点 的A(x ,y ),B(x ,y )两点，则
1 1 2 2
B. 存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；
C. 存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；
D. 曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于 .
11. 已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ，且 ，A、P、B为双曲线
上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线 与 斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ）
A. 双曲线C的实轴长为
B. 双曲线C的离心率为
C. 若 ，则三角形 的周长为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ，若点 在线段 上，则 的取值范围是__________．
13. 如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分
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学科网（北京）股份有限公司线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为___
14. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 ， ，动点 与点 在曲线上，且
满足 ，则该双曲线的标准方程为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知两直线 和 的交点为 ．
（1）若直线 过点 且与直线 平行，求直线 的一般式方程；
（2）若圆 过点 且与 相切于点 ，求圆 的标准方程．
16. 已知圆C： ，直线l： 是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，
且圆E的圆心在直线 上．
（1）求公共弦AB的长度；
（2）求圆E的方程；
（3）过点 分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且 ，求四边形MRNS面
积的最大值与最小值．
17. 已知椭圆 的右焦点为 ，斜率不为0的直线 与 交于 两点.
（1）若 是线段 的中点，求直线 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若直线 经过点 （点 在点 之间），直线 与直线 的斜率分别为 ，求证：
为定值.
18. 已知双曲线一条渐近线方程为 ，且点 在双曲线上.
（1）求双曲线标准方程，
的
（2）若双曲线 左顶点为 ，右焦点为 为双曲线右支上任意一点，求 的最小值.
19. 已知椭圆 的左、右焦点别为 ， ，离心率为 ，过点 的动直线l交
E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直， 的周长为 ，直线 与E交于另一点
C，直线 与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
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