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襄阳四中 2024 级高二上学期 10 月月考数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
的
2. 李华家养了白、灰、黑三种颜色 小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸
取的颜色各不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线 的倾斜角范围是
A. B.
C. D.
4. 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为
，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
5. 公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面
体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作
（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相
同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（ ）A. 60 B. 90 C. 120 D. 180
6. 已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为 ，平均数为 ，随机删去其任一轮的
成绩，得到一组新数据，记为 ，平均数为 ，对新数据和原数据，下面说法正确的是
（ ）
A. 两组数据的极差不可能相等
的
B. 两组数据 中位数不可能相等
C. 若 ，则两组数据的方差不可能相等
D. 若 ，两组数据的第 百分位数可能相等
7. 已知圆 ： 和圆 ： ，若点 在两圆的公共弦
上，则 的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 如图，在直角 中， ， ，点 是边 上异于端点的一点，光线从点 出发经
边反射后又回到点 ，若光线 经过 的重心，则 的面积等于（ ）A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 过点 且在 轴上的截距是在 轴上截距的2倍的直线的方程为
B. 向量 是直线 的一个方向向量
C. 若直线 与 平行，则 与 的距离为
D. 圆 与圆 有两条公切线
10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动 他位于河东岸，在靠
近河岸不远处有一小湖，他于点 处测得河对岸点 位于点 的南偏西 的方向上，由于受到地势的限
制，他又选了点 ， ， ，使点 ， ， 共线，点 位于点 的正西方向上，点 位于点 的正东
方向上，测得 ， ， ， ，并经过计算得到如下
数据，则其中正确的是（ ）
A. B. 的面积为
C. D. 点 在点 的北偏西 方向上
11. 如图，圆锥 内有一个内切球 ， 为底面圆 的直径，球 与母线 ， 分别切于点 ，
.若 是边长为2的等边三角形， 为底面圆 的一条直径（ 与 不重合），则下列说法
正确的是（ ）A. 球 表的面积为
B. 圆锥 的侧面积为
C. 四面体 的体积的取值范围是
的
D. 若 为球面和圆锥侧面 交线上一点，则 的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ， 两点到直线 的距离相等，则 _____.
13. 如图，在 中，已知 边上的两条中线 相交于点
，则 的余弦值为__________.
14. 在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军．乒乓球决赛采用7
局4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在
10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概
率为 ，樊振东发球时马龙得分的概率为 ，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，则双方战至 的概率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播
平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各
类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个
直播商家进行问询交流．
（1）应抽取小吃类商家多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：
元），所得频率直方图如图②所示．
①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；
②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
16. 已知圆C： ．
（1）过点 向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m： 上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求 的最小值．
17. 在三棱柱 中，已知 ， ，点 在底面 的投影是线段
的中点 .
（1）证明：在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 ，并求出 的长；（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
18. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）若 ， ，求边 上的角平分线 长；
（2）若 为锐角三角形，点 为 的垂心， ，求 的取值范围.
19. 在平面直角坐标系 中，图形 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 对于点 和
图形 给出如下定义：点 是图形 上任意一点，若 ， 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 ，
则称点 为图形 的“关联点”.
（1）如图1，图形 是矩形 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，求出 的值.在点
， ， ， 中，哪些点为矩形 的“关联点”？
（2）如图2，图形 是中心在原点的正方形 ，其中点 的坐标为 若直线 上存在点
，使点 为正方形 的“关联点”，求 的取值范围；
（3）已知点 ， 图形 是以 为圆心，1为半径的 若线段 上存在点 ，
使点 为 的“关联点”，求 的取值范围.
