文档内容
高二上学期第一次月考试卷
数学
命题人：宋德霞
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册第一章~第二章第2节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知直线 的倾斜角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.0
2.若 ，则 （ ）
A. B. C.22 D.29
3.如果 且 ，那么直线 不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，点 在侧棱 上，且 ，若
，则 （ ）A. B.
C. D.
5.已知 为实数，直线 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知空间中三点 ，则以 为邻边的平行四边形的面积为
（ ）
A. B. C.3 D.
7.点 到直线 （ 为任意实数）的距离的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
8.在正三棱锥 中， ，点 分别是棱 的中点，则 （ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线 与直线 之间的距离为
B.直线 在两坐标轴上的截距之和为6
C.将直线 绕原点逆时针旋转 ，所得到的直线为
D.若直线 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线 的斜率为
10.在正方体 中，能构成空间的一个基底的一组向量为（ ）A. B.
C. D.
11.如图，在棱长均为1的平行六面体 中， 平面 ， 分
别是线段 和线段 上的动点，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A.当 时，
B.当 时，若 ，则
C.当 时，直线 与直线 所成角的大小为
D.当 时，三棱锥 的体积的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线 过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上截距的2倍，则直线 的方程为__________.
13.在空间直角坐标系 中，已知 ，则三棱锥 的体积为
__________.
14.在棱长为4的正方体 中，点 分别为棱 的中点， 分别为线段
上的动点（不包括端点），且 ，则线段 的长度的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）如图，正方体 的棱长为2.
（1）用空间向量方法证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
16.（本小题满分15分）
已知点 ，点 ，直线 过点 且与直线 垂直.
（1）求直线 的方程；
（2）求直线 关于直线 的对称直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题满分15分）
如图，已知平行六面体 .
（1）若 ，求 的长度；
（2）若 ，求 与 所成角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
如图，四边形 是直角梯形， 为 的中点， 是平
面 外一点， 是线段 上一点，三棱锥 的体积是 .（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19.（本小题满分17分）
如图，在三棱台 中， 是等边三角形， ，侧棱 平面
，点 是棱 的中点，点 是棱 上的动点（不含端点 ）.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值的最小值.高二上学期第一次月考试卷·数学
参考答案､提示及评分细则
1.C 由题意知直线的斜率为 ，所以 ，解得 .故选C.
2.A 由 ，得 ，所以
.故选A.
3.C 由 且 ，可得 同号， 异号，所以 也是异号.令 ，得 ；
令 ，得 ，所以直线 不经过第三象限.故选C.
4.A 因为 ，所以 ，根据空间向量的运算法则，可得所以 .故选A.
5.B 易知两直线的斜率存在，当 时，则 解得 ，由 推不出
，充分性不成立；当 时，可以推出 ，必要性成立.故选B.
6.D 夹角的余弦值为 .
因此 夹角的正弦值为 ，故以 为邻边的平行四边形的面积为
.故选D.
7.B 将直线方程 变形为 ，所以
解得 由此可得直线 恒过点 ，所以 到直线 的最远距离为 ，此
时直线 垂直于 到直线 的最短距离为0，此时直线 经过点 .又
，所以 到直线 的距离的取值范围是 .故选B.
8.D 在正三棱锥 中， ，所以
，又
，所以.故选D.
9.ACD 直线 与直线 之间的距离 ，故A正确；对
0，令 ，得 ，令 得 ，所以直线 在两坐标轴上的截距之
和为2，故B错误； 的倾斜角为 ，绕原点逆时针旋转 后，所得直线的倾斜角为 ，斜率为
，故C正确；设直线 的方程为 ，向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
后得 ，即 ，与 是同一条直线，所以
，所以 ，故D正确.故选ACD.
10.AC 空间的一组向量 可以成为基底的充分必要条件是这组向量不共面.选项A中，直线
所在的平面是 ，而 与平面 相交，所以 不共面，故这组向量可以
成为基底，A正确；选项B， 满足 ，所以这三个向量共面，这组向量不可以
成为基底，B错误；选项C中，直线 所在的平面是 ，而 与平面 相交，所以
不共面，这组向量可以成为基底，C正确；选项D中，因为 ，
所以 共面，这组
向量不可以成为基底，D错误.故选AC.11.ABD 由平行六面体 知四边形 是平行四边形，连接 ，当 时，
分别是 的中点，所以 也是 的中点，所以 ，故A正确；当 时，由A
选项可知 ，又 ，所以
0，故B正确；当 时，
，因为在棱长均为1的平行六面体
中， 平面 ，所以 ，
，所以
，设直线 与直线 所成角为 ，则，又 ，所以 ，即直线 与直线 所成角为 ，故C
错误；过 作 交 于 ，可证 平面 ，所以三棱锥 的体积
当且仅当 ，即 时取等号，故D正确.故选ABD.
12. 或 设 在 轴上的截距为 ，则 在 轴上的截距为 ，若 ，则 过
原点 ，故 的方程为 ，即 ；若 ，则 的方程为 ，所以 ，
所以 ，所以 的方程为 ，即 .综上所述，直线 的方程为 ，或
.
13.2 由题意得 ，所以 的面积为
，点 都在平面 上，点 到平面 的距离3，所以三棱锥
的体积为 .
14. 以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立空间直角坐标系，如
图所示.所以 ，设 ，其中 ，则
.又 ，所以
，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，此时
，即线段 的长度的最小值为 .
15.如图，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系 ，则 ，2） .
所以 .
（1）证明：设平面 的法向量为 ，由 得
令 ，得 .
因为 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 .
（2）解：由（1），得平面 的法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则.
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
16.解：（1）因为 ，直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 ，
又直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即 .
（2）由 解得 ，故 的交点坐标为 ，
因为 在直线 上，设 关于 对称的点为 ，
则
解得
所以直线 关于直线 对称的直线经过点 ，
代入两点式方程得 ，即 ，
所以直线 关于直线 的对称直线的方程为 .
17.解：（1） ，
因为 ，
所以 ，
所以 .（2）因为 ，
所以
，
10分
因为 ，所以
，
因为
，所以 ，
设 与 所成的角为 ，则 ，
即 与 所成角的余弦值为 .
18.（1）证明：如图，连接 交 于点 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
又因为 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 .（2）解：以 为原点， 所在直线分别为 轴，平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系
如图所示，则 .
设 ，则 ，即点 ，
则三棱锥 的体积 ，解得 ，
所以 .
则 ，设平面 的法向量 ，
由 ，令 ，得平面 的一个法向量 ，
易知， 为平面 的一个法向量，
所以 ，
由图可知二面角 是锐二面角，故二面角 的余弦值是 .
19.（1）证明：因为 是等边三角形，点 是棱 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：在平面 中，过点 作 ，所以 ，又 平面
平面 ，所以 ，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建
立空间直角坐标系如图所示.
因为 是等边三角形， ，所以 ，
，因为 ，所以 .
设 ，所以 ，所以
.
设平面 的法向量为 ，
因为 所以 令 ，得 ，
，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 所以 令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .设平面 与平面 所成角为 ，所以
，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以当 ，即 时， 取到最小值 .
