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答案第1页，共5页
2024—2025 学年度上学期期末考试高二试题
数学（参考答案及评分标准）
一、单选题：1-5
BACBA
6-8
DBC
二、多选题：9．BCD
10．AC
11．ACD
三、填空题：12.
900
13．
3
3
14.
12；120
14.提示：三个互异的数, ,
a b c 全排列有
3
3
A 种，对于一个排列，括号只有2 种放置方法，所
以
3
3
3
2 A
12
I
.
四个互异的数, , ,
a b c d 全排列有
4
4
A 种，对于一个排列，共有如下几种“相乘方法”：
a
d
b c
，
a
b
c d
，
d
c
a b
，
d
a
b c
，
a b
c d
，所以
4
4
4
5 A
120
I
15.（本题满分13 分）
（1）解：设
2
1
1
(
, )
A
y
y
，
2
2
2
(
,
)
B
y
y
………………………………………………………………………… ………1 分
由题直线l与x 轴重合不满足题意，………………………………………………………………………………2 分
设直线l：
2
x
m y
……………………………………………………………………………………………………3 分
2
2
y
x
x m y
得
2
2 0
y
m y
，显然
0
，…………………………………………………………………………4 分
有
1
2
y
y
m
，
1 2
2
y y …………………………………………………………………………………………………6 分
2
2
1
2
1 2
(
)(
)
4 2 2
OA OB
y
y
y y
……… ……………………… ………………………………………… ………8 分
（2）
2
1
2
1 2
1
2
1 2
(
) 4
8 3
2
OAB
S
y
y
y y
m
y
y
，………………………………………… ………10 分
解得
1
m… ………………………………………………………………………………………………………………12 分
即直线l的方程
2 0
x y
或
2 0
x y
… ……………………………………………………………………13 分
注：直线不同设法中，不讨论斜率不存在扣一分.
16．（本题满分15 分）
解：
（1）第3 项与第9 项的二项式系数相等，则
2
8
C =C
n
n ，解得
10
n
.………………………………3 分
10
(2
1)
x
的展开式中
2x 项为：
8
2
8
2
10
C (2 ) ( 1)
180
x
x
，……………………………………………………5 分
答案第2页，共5页
所以
2
180
a
.………………………………………………………………………………………………………………7 分
（2）由（1）知，
10
(2
1)
x
的展开式中，当
0
x
时，
0
1
a ，.………………………………………9 分
因为
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
,
,
,
,
,
0,
,
,
,
,
,
,0
a a a a a a
a a a a a
…………………………… ………………10 分
所以
0
1
2
3
10
0
1
2
3
10
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.……………………… ……… …………11 分
当
1
x 时，
10
10
0
1
2
3
10
3
3
a
a
a
a
a
，.……………………………………………………13 分
所以
3
0
1
2
1
|
|
|
|
|
| 3
1
|
|
n
a
a
a
a
..…………… …………… ………… ……… ……… … …………15 分
17．（本题满分15 分）
解：（1）周一进行7 场比赛，周二进行4 场比赛，周三进行2 场比赛，周四进行1 场比赛，
共进行14 场比赛；.………………………………………………………………………………………………………3 分
(2)(ⅰ)易知该队抽到轮空签的概率为1
15 ，…………………………………………………………………4 分
根据题意可知，X 的取值范围是
1,2,3,4 .……………………………………………………………………5 分
1
1
14
1
1
(
1)
+
=
15
2
15
2
2
P X
,………………………………………………………………………………………6 分
1
1
1
14
1
1
1
(
2)
+
=
15
2
2
15
2
2
4
P X
……………………………………………………………………………7 分
1
1
1
14
1
1
1
2
(
3)
+
=
15
2
2
15
2
2
2
15
P X
………………………………………………………………………8 分
14
1
1
1
7
(
4)
=
15
2
2
2
60
P X
………………………………………………………………………………………9 分
因此X 的分布列如下表所示
X
1
2
3
4
P
1
2
1
4
2
15
7
60
1
1
2
7
28
(
)
1
2
3
4
2
4
15
60
15
E X
……………………………………………………………………10 分
(ⅱ)设A：该队共进行了3 场比赛，B：该队获得冠军…………………………………………………11 分
1
1
1
1
1
(
)
=
15
2
2
2
120
P A
B
……………………………………………………………………………………13 分
因此
1
(
)
1
120
(
)
=
=
2
( )
16
15
P A
B
P A
B
P B
…………………………………………………………………………15 分
注：没画分布列表格扣二分，只有表格，没有前面计算，概率对了不扣分.
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0
0
3
2
0
2
x
z
0
0
1 3
2
-
0
2
x
z
G
F
H
O
0z
0x
18．（本题满分17 分）
（1）
………………………………………………………………………………4 分
（2）因为
,
PD
CD
,
PD
AD
,
AD
CD
如图以DA 方向为
x 轴正方向，以DC 方向为y 轴正方向，以DP 方向为z 轴正
方向建立空间直角坐标系，则
(2,0,1)
E
(0,2,0)
C
,
(0,0,2)
P
,
(2,2,0)
B
,可得
1
(2,1, )
2
G
(1,1,1)
F
(0,1,1)
H
……………………6 分
设平面FGH 的法向量为
( , , )
x y z
=
n
，
( 1,0,0)
FH
,
1
(1,0,
)
2
FG
,
0
0
2
x
z
x
，
(0,1,0)
=
n
，…8 分
(2, 2,1)
CE
，设直线CE 与平面FGH 成角为，
2
sin
cos
,
3
CE
n
,…………………………10 分
直线CE 与平面FGH 所成角的正弦值为2
3；………………………………………………………………11 分
（3）因为M 是截面FGH 上一点，设
0
0
(
,1,
)
M x
z
，
设平面MPE 的法向量为
( , , )
x y z
=
m
，
0
0
(
2,1,
1)
EM
x
z
,
(2,0, 1)
PE
，
0
0
(
2)
(
1)
0
2
0
x x
y
z z
x
z
令
1
x ，有
0
0
(1,4
2
,2)
x
z
=
-
-
m
………………………………………12 分
且易知面PED 法向量
(0,1,0)
=
s
，………………………………………………………………………………13 分
由题二面角M
PE
D
的余弦值为
5
3
，有
0
0
2
0
0
4
2
5
3
5
(4
2
)
x
z
x
z
，
整理得
0
0
5
4
2
2
x
z
……………………………………………………………………………………………15 分
截面FGH 辅图如下：
所以满足题意的M 点轨迹为3
( ,0)
2
，
3
(0, )
4 之间的线段，长
度为3 5
4
．…………………………………………………………17 分
注：（1）只要能看出平行就给分，虚线画成实线扣一分（3）
其他做法数对就给分，最后结果不对，但有点
3
(0,1
)
4
，给15 分.
x
C
P
y
z
答案第4页，共5页
19. （本题满分17 分）
解：
（1）根据题意有
1
1
2 2
4
PF
F F
PF
，……………………………………………………………1 分
所以P 点一定在是以
1F ，F 为焦点，实轴长为2 2 的双曲线上，…………………………………2 分
又因为
1
2 2
0
PF
PF
可知
1
PF
PF
因此P 点横坐标大于零，……………………………3 分
P 点轨迹方程为
2
2
:
2 (
0)
C x
y
x
…………………………………………………………………………4 分
（2）
（ⅰ）
2
2
2
x
y
y
k x m
得
2
2
2
(1
)
2
2 0
k x
k m x m
，…………………………………………………………5 分
因为l 与曲线C 相切，所以
0
，即
2
2
2
2
2
2
(1
)(
2)
2 2
0
k m
k
m
m
k
，2
2
2
2
m
k
①………7 分
此时P 点坐标为
2
2
(
,
)
1
1
k m
m
k
k
，设
0
0
(
,
)
N x k x
m
2
2
(
2 ,
)
1
1
km
m
FP
k
k
，
0
0
(
2 ,
)
FN
x
kx
m
，因为
0
PF NF
0
0
2
2
(
2 )(
2) (
)(
) 0
1
1
km
m
x
k x
m
k
k
2
2
0
0
(
2 2
)(
2)
0
km
k
x
k m x
m
，又
2
2
2
2
m
k
①
2
2
0
0
(
2 2
)(
2)
2
2 0
km
k
x
k m x
k
，整理得
2
0
(2
2 2
)(
1) 0
km
k
x
所以
0 1
x
N 点在定直线
1
x上.…………………………………………………………………………………………………10 分
（ⅱ）法一：由（2）(1,
)
N
k
m
，
tan
FN
k
k
m
PFM
………………………………………………11 分
因为PF
NF
,所以PFM
PFN
，tan
1
(
)
k k m
PNF
k k m
，…………………………………………12 分
tan
tan
PNF
PFM
(
)
1
(
)
k k m
k m
k k m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4( )
6
2
2
3
4
6
2
2
2
2
(
)
1
2
2
1
2
k
k
k
km m
k
k
km m
k
km
m
m
m
m
k
k
km
k
m
k
km
km m
m
解得：
0
k
m或
2
k
m，又因为
0
k 不符题，所以
0
k
m（舍）
2
2
2
2
2
m
k
k
m
解得
2
8
7
k
………………………………………………………………………………………………15 分
答案第5页，共5页
P 点横坐标
2
2
2
4
7
2
4
1
1
1
7
k
k m
k
k
存在点P 使tan
tan
2
PNF
PFM
成立，此时P 点横坐标为4.…………………………………17 分
法二：
1
sin
sin
2
tan
tan
1
cos
cos
2
PFM
FM PF
PFM
PF
PNF
PFM
PFM
NF
PFM
NF
FM
1
sin
2
2
2
2
1
2 1
sin
2
P
PFM
P
NFM
PFM
FM PF
x
S
x
S
NFM
NF
FM
△
△
4
Px 或
0
Px （舍）
存在点P 使tan
tan
2
PNF
PFM
成立，此时P 点横坐标为4.…………………………………17 分
注：（1）未证明直接使用二级结论，扣4 分，证明后使用不扣分，
（2）（3）分点给的简略，答案对的请给分，答案不对的请大家酌情给分。
