文档内容
2024 年春高二（下）期末联合检测试卷
数 学
数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字
笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 是函数 的导函数，则满足 的函数 是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名
学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）
A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
的
D. “两班学生 数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3. 对于函数 ，若系数 可以发生改变，则改变后对函数 的单调性没有
影响的是（ ）
A. B. C. D.
4. 某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高 与其父亲身高 的经验回归方程为
，当地人小王16岁时身高 ，他父亲身高 ，则小王身高的残差为（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数 ，在 时有极大值 ，则 的极小值为（ ）
A. 0 B. C. D.
6. 甲､乙､丙､丁､戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有（ ）
A. 48种 B. 96种 C. 108种 D. 120种
7. 若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）
均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（ ）
A. 1.2 B. 2.4 C. 2.88 D. 4.8
8. 若样本空间 中的事件 满足
，则 （ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 若随机变量 服从正态分布 ，已知 ，则（ ）
A. B. C. D.10. 已知函数 及其导函数 的定义域都是 ，若函数 的图象关于点 对称， 为
偶函数，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于直线 对称 D. 的最小周期是1
11. 设 都是不小于3的整数，当 时， ，设集合
，如果 与 不能同时成立，则（ ）
A. 若 ，则 或
B. 若 ，则 的可能取值为3或4或5
C. 若 的值确定，则
D. 若 为奇数，则 的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中 的系数为__________.
13. 已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为 ，那么在50次运行中，平均准点班次约为
__________次.
14. 已知 是 的两个不同的极值点，且 ，若
恒成立，则实数 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治
疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进
行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开
水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈.
（1）根据上述信息完成下列 列联表；
疗效
疗法 合计
痊愈 未痊愈
服用白开水
合计
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.
.
附：参考公式：
0.1 0.05 0.01
.
2706 3.841 6.635
16. 口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”.
（1）求第1次至少抽到一个红球的概率；
（2）设“一次抽取”中抽到红球的个数为 ，求 的分布列与数学期望.
17. 2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长 .作为中国外贸“新三样”之一，
新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量 （单位：
）与速度 （单位： ）在 的函数关系为 .假设电价是
1元 .
（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资 ，甲地
到乙地的距离为 ，最经济的车速是 ，则司机每小时的工资为多少元？
的
18. 国家对化学元素镓（ ）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要 作用，其应用
前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天
17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设 表示一天的17次检测得到
的镓含量（单位： ）的监测数据，并记监测数据的平均数 ，标准差 .
设 表示镓合金中镓含量（单位： ），且 ，当 为正整数时，令
，根据表中的 和 值解答：
1 2 3 4
0.6827 0.9545 0.9973 0.9999
0.0015 0.4531 0.9551 0.9983
（1）记 表示一天中抽取17次的镓含量 的次数，求 及 的数学期望；
（2）当一天中至少1次监测镓含量 ，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改
进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得 .若用该天监测数据得的 和
分别估计为 和 且 ，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？
（3）若去掉一天中的监测结果 ，设余下的数据标准差为 ，请用数据 表示 .19. 设 为自然对数的底数，已知函数 .
（1）当函数 图象的切线经过原点时，求切线的方程；
（2）当实数 满足 且 ，求 的最大值.2024 年春高二（下）期末联合检测试卷
数学
数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字
笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 是函数 的导函数，则满足 的函数 是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的运算法则对选项逐一分析即可.
【详解】 ，故 错误；
，故 正确；
，故 错误；
，故 错误；故选： .
2. 如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名
学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）
的
A. 两个班6名学生 数学成绩优秀率可能相等
B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
【答案】A
【解析】
【分析】分析等高堆积条形图可直接得到答案.
【详解】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，
从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成
绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误；
两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，
故D错误；
.
故选：A
3. 对于函数 ，若系数 可以发生改变，则改变后对函数 的单调性没有
影响的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析 的正负性即可得答案.
【详解】由题意 ，b与c的对 的正负性有影响，d不影响 的正负性，
即d对 的单调性没有影响；故选：C.
4. 某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高 与其父亲身高 的经验回归方程为
，当地人小王16岁时身高 ，他父亲身高 ，则小王身高的残差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据回归方程求小王身高的预测值，再计算残差.
【详解】当 时，得 ，则 ，
所以小王身高的残差为 .
故选：B
5. 若函数 ，在 时有极大值 ，则 的极小值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知 ， ，求解 ，再利用导数判断函数的单调性，求解函数的
极小值.
【详解】 ，
由题意可知， ， ，
即 ，解得： ，
当 时， ，令 ，
得 或 ，单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极小值为 .
故选：D
6. 甲､乙､丙､丁､戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有（ ）
A. 48种 B. 96种 C. 108种 D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】先从乙､丙､丁､戊四个人中选一个人站中间，其余的四个人进行全排列，即可得出答案.
【详解】甲不站最中间的位置，则从乙､丙､丁､戊四个人中选一个人站中间，
所以 种，剩余的四个人进行全排列，则有 种排法，
所以不同的排列方式有： 种.
故选：B.
7. 若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）
均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（ ）
A. 1.2 B. 2.4 C. 2.88 D. 4.8
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机变量的关系应用标准差的性质运算即可.
【详解】设每天能够售出的工艺品为 ，方差 ,
每天能够获得纯利润为 ，则 ,
则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为 .
故选：D.
8. 若样本空间 中的事件 满足，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用条件概率、全概率公式计算可得答案.
【详解】因为 ，
所以
，解得 ，
.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 若随机变量 服从正态分布 ，已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由对称性，结合条件，即可判断选项.【详解】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为 ，
A. ，故A正确；
B. 由对称性可知， ，故B正确；
C. ，故C错误；
D. ，故D错误.
故选：AB
10. 已知函数 及其导函数 的定义域都是 ，若函数 的图象关于点 对称， 为
偶函数，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于直线 对称 D. 的最小周期是1
【答案】BC
【解析】
【分析】用举反例的方法得选项A，D错误，再由对称性和对称性与周期性之间的关系对剩余选项逐一分
析即可.
【详解】因为 为偶函数，函数 的图象关于点 对称，
对于函数 ，显然其图象关于点 对称，
且 ，故 为偶函数，
即 满足条件 为偶函数，且其图象关于点 对称，
但 ，故 错误；的最小正周期不是 ，D错误；
函数 的图象关于点 对称， ，
令 ，得 ，故 正确；
函数 的图象关于点 对称， ，
两边求导得： ，
的图象关于直线 对称, 故 正确；
故选：BC.
11. 设 都是不小于3的整数，当 时， ，设集合
，如果 与 不能同时成立，则（ ）
A. 若 ，则 或
B. 若 ，则 的可能取值为3或4或5
C. 若 的值确定，则
D. 若 为奇数，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题中的定义，结合选项，即可求解.
【详解】对A，当 ，则 ，则 ，则
可取1或2，
由于 不能同时成立，则 或 ，A成立；当 时，则 ，设 ，则 可以是 或
或 ，
所以 的值可以是 ，B成立；
对于 ，因为 不能同时出现，所以满足条件的数对至多 ，则 ，
下归纳说明奇数时候能取等， 已证，
若 时候存在一个长为 的数列满足题意，
不妨首项为1，设数列为 ，
当 时，在数列 前面添加如下的 项，
（在 中插空，交替插入 ） ，
则新生成的数列共有 项满足条件，则D正确，C错误.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意中元素与集合的关系.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中 的系数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】二项式的通项公式 ，令 ，
得 的系数为 .
故答案为：
13. 已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为 ，那么在50次运行中，平均准点班次约为
__________次.【答案】46
【解析】
【分析】根据给定条件，利用概率的意义计算即得.
【详解】依题意，在50次运行中，平均准点班次约为 .
故答案为：46
14. 已知 是 的两个不同的极值点，且 ，若
恒成立，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求导，结合韦达定理得 ， ，则 可转化为
，则 的范围可求，将 化为 ，利用导数以及求出
的a的范围即可得b的范围.
【详解】 ，
由题意， 是 的根，
则有 ， ，
所以 ，且 ，
又 ，即 ，
，即有 ，
又 ，即 ，
令 ，则 在 是增函数，
所以 .
故答案为： .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治
疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进
行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开
水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈.
（1）根据上述信息完成下列 列联表；
疗效
疗法 合计
痊愈 未痊愈
服用白开水
合计
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.
附：参考公式： .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）答案见解析
（2）认为姜汤对治疗感冒更有效果，理由见解析
【解析】
【分析】（1）数据分析，填写列联表；
（2）计算出卡方，与2.706比较后，得到结论.
【小问1详解】根据上述信息完成下列 列联表；
疗效
疗法 合计
痊愈 未痊愈
服用姜汤 30 10 40
服用白开水 35 25 60
合计 65 35 100
【小问2详解】零假设为 ：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断
犯错误的概率不大于0.1.
16. 口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”.
（1）求第1次至少抽到一个红球的概率；
（2）设“一次抽取”中抽到红球的个数为 ，求 的分布列与数学期望.
【答案】（1） ；
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用古典概型概率公式求2个都是白球的概率，再利用对立事件概率公式求解；
（2）确定随机变量的可能取值，再求 取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.
【小问1详解】
设 第1次至少抽到一个红球”，则 “第1次抽到2个球都是白球”，
第1次抽取的样本空间 包括 个样本点，即 ，而 ，
所以 ，即第1次至少抽到一个红球 的概率是 ；
【小问2详解】
由题意知 ，且每次抽到红球个数的概率相等，
，
即 的分布列为：
0 1 2
所以 .
17. 2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长 .作为中国外贸“新三样”之一，
新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量 （单位：
）与速度 （单位： ）在 的函数关系为 .假设电价是
1元 .
（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资 ，甲地
到乙地的距离为 ，最经济的车速是 ，则司机每小时的工资为多少元？
【答案】（1）
（2）150元.
【解析】【分析】（1）利用导数求函数 的最小值；
（2）首先计算汽车行驶的总费用，并求函数的导数，由题意可知， 是函数的极值点，代入即可求解.
【小问1详解】
由
有 ，令 ，得 或 （舍），
当 时， , 单调递减，
当 时， , 单调递增，
所以当车速为 时，车辆每千米的耗电量最低；
【小问2详解】
设司机的工资为 元，则行车的总费用为
，由题意知 时， ，
得 ，即司机每小时的工资为150元.
18. 国家对化学元素镓（ ）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用
前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天
17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设 表示一天的17次检测得到
的镓含量（单位： ）的监测数据，并记监测数据的平均数 ，标准差 .设 表示镓合金中镓含量（单位： ），且 ，当 为正整数时，令
，根据表中的 和 值解答：
1 2 3 4
0.6827 0.9545 0.9973 0.9999
.
0.0015 0.4531 09551 0.9983
（1）记 表示一天中抽取17次的镓含量 的次数，求 及 的数学期望；
（2）当一天中至少1次监测镓含量 ，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改
进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得 .若用该天监测数据得的 和
分别估计为 和 且 ，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？
（3）若去掉一天中的监测结果 ，设余下的数据标准差为 ，请用数据 表示 .
【答案】（1）0.0449；0.0459
（2）必须作改进； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据正态分布求解 的概率，以及 的概率，再利
用对立事件求 ，再根据二项分布求期望；
（2）由 可知， ，即可作出判断；
（3）根据平均数公式和标准差公式，化简求解.
【小问1详解】
由题意得1次监测镓含量 的概率为0.9973，镓含量 的概率为0.0027
，
；
【小问2详解】
由 估计得 ，
，发现最小值 ，
该天至少1次监测镓含量 中，故必须作改进；
【小问3详解】
设余下的数据的平均数 ，则 ，
即 .
19. 设 为自然对数的底数，已知函数 .
（1）当函数 图象的切线经过原点时，求切线的方程；（2）当实数 满足 且 ，求 的最大值.
【答案】（1） 或 ；
（2）8
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，再设切点，利用导数的几何意义求切线方程，并代入原点，即可求解
切点，以及切线方程；
（2）首先构造函数 ，利用导数分析函数 的性质，从而证明当 时
，在代入 ，即求最值.
【小问1详解】
，设函数 的图象上一点为 ，
则该点处的切线为 ，
即切线为 ，
解得 或 此时 或 切线的方程为 或 ；
【小问2详解】
设 ，则 ，再设 ，则 ，
由 得 在 上单调递增，同理得 在 上单调递减，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
容易得到 当 时， ，当 时， ，时， 的最大值为 ，即 ，
由 ，得 ，而 ，
必存在 ，使得 ，且当 时， ，当 时， ，
即 在 上单减，在 上单增，
而 ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，当且仅当 时等号成立，
，故当 时， ，
即当 时 ，当且仅当 时等号成立，
，
当且仅当 时等号成立， 的最大值为8.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，并证明当 时， .
