文档内容
钦州市 2024 年春季学期高二期末教学质量监测
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第四章至第七章，选择性必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间
A．可能存在负相关 B．可能存在正相关 C．一定存在正相关 D．一定存在负相关
2．在等比数列 中， ，则
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知随机变量X服从二项分布B（5， ），则
A． B． C． D．
4．已知函数 ， ， 是 的导函数，且 ，则a的最小值为
A． B． C． D．
5．甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有
A．10种 B．5种 C．12种 D．6种
6．某班举办知识竞赛，已知题库中有A，B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为 ，答对B类试题的概率为 ，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题．假设有羊、骡子、马、牛
吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟．羊的主人
说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半．”骡子的主人说：“骡子吃
的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半．”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一
半．”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为
A．1 B． C．2 D．
8．已知定义域均为R的函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ， ，
，则不等式 的解集为
A．（ ，5） B．（5， ） C．（ ，1） D．（1， ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知随机变量X服从正态分布N（14， ），且 ，则
A． B． C． D．
10．已知函数 有2个极值点，则 的解析式可能为
A． B． C． D．
11．已知数列 满足 ，且 ，若 ，则下列说法正确的是
A．数列 可能为常数列 B．数列 可能为等比数列
C．若 ，则 D．若 ，记 是数列 的前n项积，则 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某一电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为 ，则在
第2秒时该电路的电流为________A．13．袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球
不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为________．
14．若函数 的定义域为D，对任意 ， ， ，都有 ，则称 为单射
函数．已知集合 ，且 ， ，则函数 是单射函数的概率为
________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列 是公差不为0的等差数列，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
16．（15分）某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到
如下列联表：
语文成绩
数学成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 400 200 600
不优秀 200 200 400
合计 600 400 1000
（1）判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求
恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率．
附： ，其中 ．当 时，有99%的把握判断变
量A，B有关联．
17．（15分）在二项式 的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32．
（1）求n；
（2）求第4项的系数；
（3）求 的展开式的常数项．
18．（17分）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的
机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面
试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均
未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为 ，每次参加面试通过的概率均为 ，且每次考试是否通过相互独立．
（1）求甲在一年内考试失败的概率；
（2）求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望．
19．（17分）已知函数 的图象在点（1， ）处的切线方程为 ．
（1）求a，b的值；
（2）证明： ．
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数学试卷参考答案
1．A
从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，所以据此可以推断变量 x与y
之间可能存在负相关．
2．C
由题意得 ，得 ．
3．D
由题意得 ．
4．B
由题意得 ，则 ．由 ，得 ，所以 ．
5．A
先选出2节相邻的车厢，再将甲、乙两人排列，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有 种．
6．C
设“选出A类试题”为事件 ，“选出B类试题”为事件 ，“甲答对题目”为事件B，
则 ， ， ， ，所以 ．
7．B
由题意得羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，设该数列为 ，公差为d，则羊、骡子、马、
牛吃的禾苗数依次为 ， ， ， ．由题意得 ，
即 解得
8．B
令 ，则 ，所以 单调递减．
由 ， ， ，得 ，所以 ．
9．AD
由 ，得 ，则 ，所以 ．
10．BC
由题意得 的导函数 有两个异号零点．
由 ，得 恒成立，A错误．
由 ，得 ，令 ，得 ，B正确．
由 ， 得 ， 令 ， 得 ， 因 为
，所以 有两个异号零点，C正确．
由 ，得 ，令 ，得 ，D错误．
11．ABD由 ，可得 ，则 ．若 ，
则 ， ，所以 ，故数列 可能为常数列，若 ，则数列 为等比数列，故
A，B 正确；若 ，则 ，所以数列 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，故
，故C错误；若 ，则 ，故当 时， ，当 时，
，故 的最大值为 ，D正确．
12．15
由题意得 ，则 ，即第2秒时该电路的电流为15A．
13．
在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为 ．
14．
当 ， 时， 在（0， ）上单调递减，在（ ， ）上单调递增， 不是单射函
数．当 ， 时， 在（0， ）上单调递增，在（ ， ）上单调递减， 不是单
射函数．
当 ， 或 ， 时， ， 不是单射函数．当 ，
时， 不是单射函数．当 ， 时， 是单射函数．当 ， 时，是单射函数．故 是单射函数的概率为 ．
15．解：（1）设等差数列 的公差为d， ，解得 ．
由 ，可得 ，解得 ，
所以 ．
（2） ，
所以 ．
16．解：（1）根据列联表中的数据，计算得到 ．
因为 ，所以有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
（2）由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为 ，
不优秀的学生人数为 ，
则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为 ．
17．解：（1）由题意得所有偶数项的二项式系数之和为 ，
得 ，即 ．
（2）由题意得第4项为 ，
所以第4项的系数为 ．
（3） ，
在 的展开式中，含 的项为 ，常数项为 ，
所以 的展开式的常数项为 ．
18．解：（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为 ，每次参加面试未通过的概率均为 ．
甲两次笔试均未通过的概率为 ，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为 ，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 ，
所以甲在一年内考试失败的概率为 ．
（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，
，
，
，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
故 ．
19．（1）解：由题意得 ，
由切线 的斜率为b，得 ，则切线方程为 ，当 时， ，所以 ，得 ．
（2）证明：由（1）可知 ， ，
要证 ，即证 ．
设 ，则 ．
令 ， ，易得 是减函数．
因为 ， ，所以存在唯一 ，使得 ，即
．
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ．
设 ，则 ．
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ．
因为 ， （两个不等式中的等号不能同时成立），所以
，
即 ．
