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白城一中 2025－2026 学年度高二上学期第一次月考
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1. 如果 ，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性即可得出结论.
【详解】由对数函数 在 单调递减可得 .
故选：D
2. 下列命题：
①若 ，则 ；
② 的充要条件是 且
③若 ，则 ；
④若 是不共线的四点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件.
其中，真命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案
【详解】解：对于①，若 ，则模相等，方向不一定相同，故错误；
对于②，当 时也满足 且 ，故错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于③，当 时，满足 ，但 不一定成立；
对于④，若 是不共线的四点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件，正确.
故真命题的个数是1个.
故选：B
3. 动点 在圆 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间
时，点 的坐标是 ，则当 时，动点 的纵坐标 关于 （单位：秒）的函数的解析式
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意确定周期得到 ，再通过 坐标，得到 ，即可求解.
【详解】由已知可得该函数的周期 ， ，
又 当 时， ，
设 ，令 ，得
由 ，得 ，在一个周期内可得 ， ，
又需满足 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：D
4. 化简 所得的结果是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果.
【详解】易知
.
故选：A.
5. 《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭
的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为 ，则方亭的侧面积为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为 ，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公
式，即可求解.
【详解】设上底面为 ，下底面为 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司设上底面的中心为 ，下底面的中心为 ，连接 ，
过点 作 于点 ，如图所示，
因为 ，
所以 即为侧面与下底面夹角的平面角，即 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以方亭的侧面积为 .
故选：B.
6. 设平面向量 ，若 ，则 等于（ ）
A. 1 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：D
7. 在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理 ，可得 ，代入数据可求解．
【详解】由正弦定理 ，变形可得 ，故选B
【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题．
8. 下列四个说法中正确的是（ ）
A. 平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α β
B. α∩γ＝a，α∩β＝b，且a b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γ β
C. 平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α β
D. 平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α β
【答案】C
【解析】
【分析】求得平面α内有无数个点到平面β的距离相等时α与β的位置关系判断选项A；求得α∩γ＝a，
α∩β＝b，且a b时γ与β的位置关系判断选项B；平面α内一个三角形三边分别平行于平面 β内的一个
三角形的三条边时α与β的位置关系判断选项C；举特例否定选项D.
【详解】选项A：当 时，平面α内的直线l上有无数个点到平面β的距离相等.判断
错误；
选项B：在如下图所示的三棱柱 中：
γ与β相交，α∩γ＝a，α∩β＝b，且a b，则.判断错误；
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学科网（北京）股份有限公司选项C：平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，
则α β.判断正确；
选项D：如下图， ，平面α内的一个平行四边形相对的两边
与平面β内的一个平行四边形相对的两边 满足 .判断错误.
故选：C
二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 已知非零实数a、b满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特值法和作差法对选项进行一一判断，即可得到答案；
【详解】对A，令 ，则 ，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对B，当 ， ；
当 ；
当 ， ；
故B正确；
对C，
，故C正确；
对D， ，
且 ， ，
，故D正确；
故选：BCD
10. 给出下列说法，其中正确的有（ ）
A. 中国的所有直辖市可以构成一个集合
B. 高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合
C. 正偶数的全体可以构成一个集合
D. 大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合
【答案】AC
【解析】
【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可.
【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确.
B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误.
D中的元素具备确定性能构成集合，D错误.
故选：AC
11. 边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，
函数 的边际函数 定义为 ．某公司每月最多生产75台报警系统装
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学科网（北京）股份有限公司置，生产 台 的收入函数 （单位：元），其成本函数
（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为 ，则以下说法正确的是（ ）
A. 取得最大值时每月产量为 台
B. 边际利润函数的表达式为
C. 利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值
D. 边际利润函数 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数 、 的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；
求出利润函数 与边际利润函数 的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数 的单调
性可判断D选项.
【详解】对于A选项， ，
二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
因为 ，所以， 取得最大值时每月产量为 台或 台，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项， ，
因为函数 为减函数，则 ，C对；
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学科网（北京）股份有限公司对于D选项，因为函数 为减函数，
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知定义在 上的偶函数 在区间 上单调递减，则满足 的 的取值范
围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数的奇偶性，确定单调性，由单调性结合定义域列出不等式求解即可.
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，
所以 在 上单调递增，
由 可得：
，解得 .
所以满足 的 的取值范围是
故答案为：
13. 已知向量 ， ，若 ，则 ________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知向量 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，解得 ，
故答案为：1
14. 已知 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据正弦和角公式得到 ，进而求出 ，利用二倍角公式求出答案.
【详解】因为 ，而 ，
因此 ，
则 ，
所以 .
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在三棱柱 中， ，点 在底面ABC的射影为
BC的中点， 为 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明: 平面 .
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
的
【分析】（1）先由线面垂直 判定定理证明 平面 ，再由平行四边形的性质得到
即可证明；
（2）分别找到平面 的法向量和平面 的法向量，代入二面角的余弦公式，再利用同角三角函数
关系求出正弦值即可.
建系，
【小问1详解】
证明:如图，设 为 在底面的射影，连接 ，则 平面 .
因为 平面ABC，所以
又 为BC的中点， ，所以
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 平面 ，
∴ 平面 .
又 为 的中点， 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
∴ 平面 .
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系.
在三棱柱 中， ，
所以 ，
则 .
由（1）知 平面 ，则 是平面 的一个法向量，
因为 ，且 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 即
设 ，得 ， 所以 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司16. 如图为正四棱锥 为底面 的中心．
（1）若 ，求 绕 旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形 的边长，然后求圆锥的体积；
（2）连接 ，可先证 平面 ，根据线面角的定义得出所求角为 ，然后结合题
目数量关系求解.
【小问1详解】
正四棱锥满足且 平面 ，由 平面 ，则 ，
又正四棱锥底面 是正方形，由 可得， ，
故 ，
的
根据圆锥 定义， 绕 旋转一周形成的几何体是以 为轴， 为底面半径的圆锥，
即圆锥的高为 ，底面半径为 ，
根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司连接 ，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
由 是 中点，则 ，又 平面 ，
故 平面 ，即 平面 ，又 平面 ，
于是直线 与平面 所成角的大小即为 ，
不妨设 ，则 ， ，
又线面角的范围是 ，
故 .即为所求.
的
17. 判断下列各题中， 是 什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也
不必要条件”中选出一种作答）.
（1）若 ， ， ；
（2） ， ；
（3） ：两个角都是直角， ：两个角不相等.
【答案】（1）充要条件
（2）必要不充分条件 （3）既不充分也不必要条件
【解析】
【分析】（1）由充要条件的概念即可直接判断；
（2）由必要不充分条件的概念即可直接判断；
（3）由既不充分也不必要条件的概念即可直接判断.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
因为 ，
并且 ，
所以 是 的充要条件.
【小问2详解】
，即 或 ， ，
故 ，
故 是 的必要不充分条件.
【小问3详解】
两个角都是直角，则这两个角相等，
两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
即 ，
的
故 是 既不充分也不必要条件.
18. 如图所示，在直三棱柱 中，底面是等腰三角形， ，侧棱 ，
， 是 的中点，试问在线段 上是否存在一点 （不与端点重合），使得点 到平面
的距离为 ？
【答案】存在
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，先计算平面 的法向量 ， ， ，再利用点到平面的
向量公式 ，列出方程即得解
【详解】由题意，以 为坐标原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ，
假设在线段 上存在一点 （不与端点重合），使得点 到平面 的距离为 ．
可设 ，则 ， ， ，
，0， ， ， ， ， ，0， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则由 ，得 ，即有 ①
，得 ，即有 ②
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学科网（北京）股份有限公司不妨令 ，由①②可取 ， ， ，
则 ，由于点 到平面 的距离可看作 在 上投影的绝对值，
则为 ，
解得， ，成立．
则在线段 上存在一点 （不与端点重合），且 ，
使得点 到平面 的距离为 ．
19. 已知关于 的方程 有实根 ，求 以及实数 的值.
【答案】 或
【解析】
【分析】将 代入方程，由复数相等可构造方程组求得结果.
【详解】 是方程的实根， ，即 ，
，解得： 或 .
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学科网（北京）股份有限公司
