文档内容
高三 数学学科第一次月考
考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分. 第Ⅰ卷1至3页，
第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上，答卷时，
考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效，考试结束后，将答题纸交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（共 45分）
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据补集的运算求出 ，再由交集的运算可得答案.
【详解】 ，则
，所以 .
故选： .
2. “ ”是“ 为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
第1页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【详解】易知 ，所以
为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，
显然不满足充分性，满足必要性.
故选：B
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出y=f (x)为奇函数，排除CD；由 排除B，得到答案.
【详解】 定义域为R，
，函数y=f (x)为奇函数，
图象关于原点对称，排除CD；
又 ，排除B.
故选：A
4. 5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手
机的实际销量，如下表所示：
第2页/共29页
学科网（北京）股份有限公司时间x 1 2 3 4 5
销售量 y（千
0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
只）
若x与y线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.24个单位
B. 线性回归方程 中
C. 由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数
D. 可以预测 时，该商场5G手机销量约为1.72（千只）
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断C选项；根据已知数据得到样本中心点，
代入回归方程求解即可判断B选项；根据回归方程判断AD选项.
【详解】根据线性回归方程 可得 每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.24个单位，
故A正确.
由已知数据得 ， ，
代入 中得到 ，故B错误；
从数据看 随 的增加而增加，故变量 与 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数 ，故C正
确；
将 代入 中得到 ，故D正确.
故选：B.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第3页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.
【详解】
.
故选：C
6. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“ ”即可比较大小.
【详解】 ， ，
.
综上， ．
故选：B.
7. 已知函数 的图象关于点 中心对称，则（ ）
第4页/共29页
学科网（北京）股份有限公司A. 直线 是函数 图象的对称轴
B. 区间 上有两个极值点
在
C. 在区间 上单调递减
D. 函数 的图象可由 向左平移 个单位长度得到
【答案】C
【解析】
【分析】利用整体代入法判断A，利用整体换元法判断B，利用三角函数的单调性判断C，利用三角函数
平移的性质判断D即可.
【详解】因为函数 的图象关于点 中心对称，所以 ，
可得 ，结合 ，得 ，所以 ．
对于A， ，
所以直线 不是函数 图象的对称轴，故A不正确；
对于B，当 时， ，
所以函数 在区间 上只有一个极值点，故B不正确；
对于C，当 时， ，
第5页/共29页
学科网（北京）股份有限公司所以函数 在区间 上单调递减，故C正确；
对于D， 左移 个单位长度后得到 ，故D错误．
故选：C．
8. 已知 是定义域为R的函数，且 是奇函数， 是偶函数，满足
，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶函数构造方程组求出 的解析式，再根据题意得到 在
单调递增，分类讨论即可求解．
【详解】由题意可得 ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
联立 ，解得 ，
又因为对于任意的 ，都有 成立，
所以 ，即 成立，
第6页/共29页
学科网（北京）股份有限公司构造 ，
所以由上述过程可得 在 单调递增，
若 ，则对称轴 ，解得 ；
若 ，则 在 单调递增，满足题意；
若a>0，则对称轴 恒成立；
综上， ．
故选：B
9. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意的 ， 恒成立，当
时 ．若对任意 ，都有 ，则m的最大值是（
）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析x∈[0,2]、 、 时 解析式以及值域，然后作出 的图象，结
合图象确定出符合条件的 的范围，再根据 与所求 的取值范围的关系求解出 的最大值.
【详解】当x∈[0,2]时， ，此时
第7页/共29页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时
当 时， ，此时 ，
结合 为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出 的图象如下图所示：
由图象可知，若要 恒成立，只需要分析 内 的图象即可，
因为图象的对称性，不妨考虑 时 的情况，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 或 ，
结合图象，若 成立，则有 ，所以 ，
又因为若对任意 ，都有 ，
则有 ，所以 ，所以 ，
第8页/共29页
学科网（北京）股份有限公司所以 的最大值为 ，
故选：B.
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能
高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角
度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.
第Ⅱ卷（共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. 复数 的模为__________．
【答案】 ##
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.
【详解】 ．
故答案为：
11. 的展开式中常数项为__________.
【答案】
【解析】
【分析】写出其展开式的通项，然后令指数部分为0，求解即可.
【详解】 的二项展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
第9页/共29页
学科网（北京）股份有限公司其展开式的常数项为 .
故答案为：
12. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数性质分析可知： 在 上单调递增，且g(x)>0，结合二次
函数列式求解即可.
【详解】因为 在定义域(0,+∞)内单调递增，
由题意可得： 在 上单调递增，且g(x)>0，
a
{ ≥4
2
则 ，解得 ，
(1) 239 1
g = + a>0
4 16 4
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在
至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__________；若一､二､三级射手获胜概率分
别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】计算出至少有一人是一级射手的情况有几种，再求出选出的 2人中1人是一级射手另一人是三级
射手的情况的种数，根据条件概率的计算公式即得答案；求出任选一名射手，分别是一、二、三级射手的
第10页/共29页
学科网（北京）股份有限公司概率，根据全概率公式即可求得任选一名射手能够获胜的概率.
【详解】由题意得至少有一人是一级射手的情况共有 种，
选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况 种，
故选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为 ；
任选一名射手，分别是一、二、三级射手概率分别为 ，
而一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，
则任选一名射手能够获胜的概率为 ，
故答案为： ，
14. 若 ， ，且 ， ，则 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数的平方关系式，解出相关角的三角函数值，继而求得 的余弦值，结合角
的范围即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
且 ，所以 ，
则 ，且 ，
第11页/共29页
学科网（北京）股份有限公司由 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，
所以
，
又 ，
所以 .
故答案为: .
15. 若 有四个零点，则实数 的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】令 ， ，将函数 零点问题转化为函数 与 的图象
交点问题，分类讨论 时，函数 与 图象的交点个数，即可求解.
第12页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，得 ，
即 ，
令 ， ，
则函数 有四个零点等价于函数 与 的图象有四个交点，
若 ，则 ，由 ，解得 ，仅有两个零点，不满足题意；
若 ， 由 ，解得 或 ，
由 ，解得 或 ，
当 ，即 时，
如图①所示，在 上，由于函数 的增长速度大于函数 的增长速度，故有且仅有一个交点；
在 上，函数 与函数 有两个交点；
同理，在 上，有且仅有一个交点，
所以函数 与 的图象有四个交点，函数 有四个零点，满足题意；
当 ，即 时，
如图②所示，在 上，由于函数 的增长速度大于函数 的增长速度，故有且仅有一个交点；
第13页/共29页
学科网（北京）股份有限公司在 上，函数 与函数 有一个交点；
同理，在 上，没有交点，
所以函数 与 的图象有两个交点，函数 有两个零点，不满足题意；
当 ，即 时，
如图③所示，在 上，由于函数 的增长速度大于函数 的增长速度，故有且仅有一个交点；
在 上，函数 与函数 有一个交点；
同理，在 上，没有交点，
所以函数 与 的图象有两个交点，函数 有两个零点，不满足题意；
当 ，即 时，
当 时， 可化为
，即 ，
因为判别式 ，所以 无解
所以函数 与 的图象在 上没有交点，
如图④所示，在 上，由于函数 的增长速度大于函数 的增长速度，故有且仅有一个交点；
第14页/共29页
学科网（北京）股份有限公司在 上，函数 与函数 没有交点；
同理，在 上，有且仅有一个交点，
所以函数 与 的图象有两个交点，函数 有两个零点，不满足题意；
若 ，
当 ，即 时，
如图⑤所示，在 上，由于函数 的增长速度大于函数 的增长速度，故有且仅有一个交点；
在 上，函数 与函数 有两个交点；
同理，在 上，有且仅有一个交点，
所以函数 与 的图象有四个交点，函数 有四个零点，满足题意；
当 ，即 时，
如图⑥所示，在 上，由于函数 的增长速度大于函数 的增长速度，故没有交点；
在 上，函数 与函数 有且仅有一个交点；
同理，在 上，有且仅有一个交点，
所以函数 与 的图象有两个交点，函数 有两个零点，不满足题意；
第15页/共29页
学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时，
如图⑦所示，在 上，由于函数 的增长速度大于函数 的增长速度，故没有交点；
在 上，函数 与函数 有且仅有一个交点；
同理，在 上，有且仅有一个交点，
所以函数 与 的图象有两个交点，函数 有两个零点，不满足题意；
当 ，即 时，
当 时， 可化为
，即 ，
因为判别式 ，即 无解
所以函数 与 的图象在 上没有交点，
如图⑧所示，在 上，由于函数 的增长速度大于函数 的增长速度，故有且仅有一个交点；
在 上，函数 与函数 没有交点；
同理，在 上，有且仅有一个交点，
所以函数 与 的图象有两个交点，函数 有两个零点，不满足题意；
第16页/共29页
学科网（北京）股份有限公司综上所述，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点问题，关键在于将零点问题转化为直线与曲线的交点问题，
应用数形结合、分类讨论思想判断交点个数.
三、解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应公众号：高中试卷君写出文字说明，证
明过程或演算步骤.
16. 设 且 ，函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若函数 在区间 上有零点，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
第17页/共29页
学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）化简不等式 为 ，按照 和 分类讨
论，利用对数函数的单调性解不等式即可；
（2）将零点问题转化为 有解，设 ，则 ，利用函数
的单调性求解参数范围即可.
【小问1详解】
当 时，不等式 可化为 ，
若 ，则 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ；
若 ，则 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ；
综上所述，当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
【小问2详解】
由题意可知 ，
第18页/共29页
学科网（北京）股份有限公司令 ，即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
因 为函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
17. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位，得到
函数 的图象，若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数 的解析式，再由整体角范围求解不等
式可得单调区间；
（2）由伸缩变换与平移变换得 解析式，得 ，根据整体角范围求余弦值，再由
第19页/共29页
学科网（北京）股份有限公司角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.
【小问1详解】
.
由 ，
解得
即 时，函数单调递减，
所以函数 的单调递减区间为 ；
【小问2详解】
将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
则得到函数 的图象，再向右平移 个单位，得到函数 的图象，
所以 .
第20页/共29页
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ， .
由 ，得 ，又 ，
所以 ，则 ，
故
.
故 的值为 .
18. 如 图 ， 垂 直 于 梯 形 所 在 平 面 ， 为 的 中 点 ，
，四边形 为矩形．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析；
第21页/共29页
学科网（北京）股份有限公司（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）设 ，由三角形中位线性质可得 ，由线面平行判定推理即可.
（2）以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，再利用面面角的向量求法可得结
果.
（3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
令 ，连接 ，
由四边形 为矩形，得 为 中点，又 为 中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
由 垂直于梯形 所在平面， ，得直线 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
第22页/共29页
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
由 轴 平面 ，得平面 的法向量 ，
则 ，所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
由（2）知： ，则 ，而平面 的法向量 ，
所以点 到平面 的距离 .
19. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，左､右焦点分别为 ， ，上､下顶点分别为 ，
，且四边形 的面积为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 ： 与椭圆 交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若
是一个与 无关的常数，则当四边形 面积最大时，求直线 的方程.
第23页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质及已知条件可得a，b，c的关系，从而可求出a，b，c的值，从而可得椭圆
C的标准方程；
（2）直线l方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP|2+|OQ|2，由|OP|2+|OQ|2是一
个与m无关的常数，可求出k的值，表示出四边形PQMN面积，求出当四边形PQMN面积最大时m的
值，即可求解直线l的方程．
【小问1详解】
，
，所以 ，
因为a2＝b2+c2，所以a＝2， ，c＝1，
所以椭圆方程为 ．
【小问2详解】
如图，设P（x，y），Q（x，y），
1 1 2 2
第24页/共29页
学科网（北京）股份有限公司，
联立 ，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，
所以 ， . ，
，
因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0， ， ，
， ，
点O到直线l的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即m2＝3，
因为m＞0，所以 时，取得最大值为 ，
因为S ＝4S ，所以S 最大时，S 最大，
四边形MNPQ POQ POQ 四边形MNPQ
△ △
第25页/共29页
学科网（北京）股份有限公司所以 或 ．
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若对 时， ，求正实数 的最大值；
（3）若函数 的最小值为 ，试判断方程 实数根的个数，
并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3） 个实数根，理由见解析
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】（1）根据导数的几何意义，求解即可；（2）两次求导后，分 和 两种情况，结合
隐零点问题，分析 的单调性，确定使得 对 恒成立时正实数 的值即可；
（3）先结合隐零点问题的处理方法，求得 的取值范围，再将原问题转化为求方程
的实数根的个数，然后构造函数 ，并再次运用隐零点证
明 有唯一零点，进而得解.
【小问1详解】
当 时， ， ，
所以 ， ，
则曲线 在 处的切线方程为
【小问2详解】
第26页/共29页
学科网（北京）股份有限公司由题意知， ，令 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，而 为正实数，
所以 在 上恒成立，
所以函数 在区间 上单调递增，且 ，
①当 时， 在区间 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减，此时 ，符合题意；
②当 时， ， ，
由零点存在定理知， ，使得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时，有 ，不符合题意，
综上，正实数 的最大值为
【小问3详解】
方程 实数根有且只有一个，理由如下：
，
所以 ，令 ，
第27页/共29页
学科网（北京）股份有限公司则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
因 为， ，
所以 ，使得 ，即 ，
两边同时取对数得， ，
而 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，在 上单调递减，所以
因为 ，且 ，
所以方程 的实数根等价于 的实数根，
设 ，其中 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
第28页/共29页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，使得 ，即 ，
两边取对数得， ，即 ，
又 ，且 ，
所以 ，
设 ，则 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，且 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即函数 只有唯一零点 ，
故方程 的实数根有且只有一个，即方程 实数根有且只有一个.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是两次求导得当 的单调性，结合隐零点以及零点存在定理分类讨
论得到 的单调性，
第三问的关键是将方程 的实数根等价于 的实数根，构造函数
，结合导数研究根的个数.
第29页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
