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巴楚县第一中学 2025-2026 学年第一学期
高二年级月考
数学学科 时间：90分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1. 在四面体PABC中， （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的计算法则计算即可.
【详解】由题可知
故选：A
2. 已知向量 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】应用空间向量线性关系、模的坐标运算求向量的模长.
【详解】由题设 ，
所以 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司3. 空间中，若向量 共面，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量共面定理有 ， ，结合向量的坐标表示列方程求参数值，即可得.
【详解】由向量共面知 ， ，则 ，
所以 ，可得 .
故选：C
4. 在长方体 中， ，则 =（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示求解
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
故选：B
5. 设 ， ，向量 ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求
模即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设 、 ，向量 ，且 ，
，解得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
故选： ．
6. 如图，在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到平面 的距离为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
的
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面 法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
设平面 的一个法向量 ，由 ，得 ，取 ，得 ，
又 ，
点 到平面 的距离为 ，
故选：D．
7. 如图，在正方体 中，M为线段 的中点，N为线段 上的动点，则直线 与
直线 所成角的正弦值的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，通过 表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而
得出答案.
【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司设正方体的棱长为2，
则 ，
， ，
设 得： ，
所以 ，
，
由 ，
所以 ，当 时，等号成立，
则 ，即异面直线 与MN所成角的正弦值的最小值为 .
.
故选：C
8. 已知矩形 中， ， ，将矩形 沿对角线 折起，使平面 与平面
垂直，则 （ ）．
A. B. C. D. 2
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】过点 ， 分别向 作垂线，垂足分别为 ， ，由 ，平方后结合
长度和垂直关系可得解.
【详解】
过点 ， 分别向 作垂线，垂足分别为 ， ，
则可得 ， ， ， ， ．
由于 ，
所以
，
所以 ．
故选:A．
【点睛】本题主要考查了空间向量数量积的应用，属于基础题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
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学科网（北京）股份有限公司【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可.
【详解】对于A：设 ，则 ，由 无解，
故不存在 ，使得 ，所以 ， ， 不共面，故A正确；
对于B： ，所以 ， ， 共面，故B错误；
对于C： ，所以 ， ， 共面，故C错误；
对于D：设 ，则 ，由
无解，
故不存在 ，使得 ，所以 ， ， 不共面，故D正确.
故选：AD.
的
10. 已知点 ,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B 坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设点B的坐标为 ,根据空间两点间距离公式列式求解.
【详解】设点B的坐标为 ,
由空间两点间距离公式可得 ，解得 或10,
所以B点的坐标为 或 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC.
11. 已知正方体 的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A. 直线 与直线 所成的角为90°
B. 直线 与平面 所成角的余弦值为
C. 平面
D. 点 到平面 的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量 与向量 数量积为0得到
线线垂直；求出面的法向量，由 求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由
法向量与 相等，证明 平面 ；由向量的投影计算出点到面的距离.
【详解】在正方体 ，以 为原点， 分别为 如图建立空间直角坐标
系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴A选项正确；
∵ ， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，解得 ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
∴ ，∴B选项正确；
∵ ，∴ 平面 ，∴C选项正确；
点 到平面 的距离 ，∴D选项错误.
故选：ABC.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 __________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 .
【解析】
【详解】 .
13. 在空间四边形 中， ， ， ， ，则 ______．
【答案】22
【解析】
分 析 】 由 ， 可 得 ， 化 简 可 得
【
，然后结合 可得答案.
【详解】因 ，则 ，
，
则 ，
整理得 ，因此 ．
.
故答案为：22
14. 若向量 （1，λ，2）， （﹣2，1，1）， ， 夹角的余弦值为 ，则λ=__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出．
【详解】∵向量 （1，λ，2）， （﹣2，1，1），
∴ 2+λ+2＝λ， ， ．
又 ， 夹角的余弦值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，可知λ＞0．
解得λ＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知空间向量 .
（1）求 ；
（2）若向量 与 垂直，求实数 的值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求解向量的模长即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标运算列方程即可得实数 的值.
【小问1详解】
因为空间向量 ，
所以 ，
所以 ；
【小问2详解】
由题得 ，
由向量 与 垂直，则 ，
则 ，解得： .
16. 如图，已知正方体 中 ， 的坐标分别为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．分别求平面 与平面 的一个法向量．
【答案】 ，
【解析】
【分析】由于 轴垂直于平面 ，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面 的
法向量即可.
【详解】由于 轴垂直于平面 ，而z轴可用方向向量 表示，
因此 是平面 的一个法向量；
设 是平面 的法向量．
由已知得 ， ，
因而
取 ，得 ，则 是平面 的一个法向量．
17. 如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，
D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝ ，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 .
【解析】
【分析】由题设，写出点C、A、B、D、V的坐标，进而得到 、 坐标，利用向量数量积的坐标表示
求 的余弦值，即可确定异面直线AC与VD所成角的余弦值．
【详解】∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
在Rt△VCD中， ，故 ．
∴ ， ．
∴ .
∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为 .
18. 如图，在平行六面体 中， 是 的中点，求证： //面 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】选定 为基底，用 表示 向量，即可用向量法证明线面垂直.
【详解】设 ，则
，
若存在实数 ，使得 成立，
则
因 不共面，故 ，即 ，
为
则 故 为共面向量，
且 不在 所确定的平面 内，故 //面 .
19. 如图所示，四棱柱 中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且
两两夹角为60°．设 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）用 为基底表示向量 ，并求 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出 ，两边平方得到 ，求出
的长；
（2） ，平方，进而求出 ， ，利用空间向量夹角公式得到
.
【小问1详解】
记 ， ， ，
则 ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，即 的长为 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司，故 ，
故 ，
由（1）知 ， ，
故
，
∴ ．
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