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郴州市 2025 届高三第一次教学质量监测试卷
数学
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设复数 ，则 的共轭复数 在复平面内对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设 ，向量 ， ，则 是 的（ ）
.
A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
6. 已知函数 在R上单调递减，则 取值范围是（ ）
的
A. B.
C. D.
7. 已知正方体 中，点 、 满足 ，则平面 截正方体
形成的截面图形为（ ）
A. 六边形 B. 五边形
C. 四边形 D. 三角形
8. 已知 ，若 有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知随机变量 ，则
B. 已知随机变量 ，
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学科网（北京）股份有限公司C. 数据 ， ， ， ， ， ，10的第 百分位数是
D. 样本甲中有 件样品，其方差为 ，样本乙中有 件样品，其方差为 ，则由甲乙组成的总体样本的
方差为
10. 已知曲线 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则曲线 表示两条直线
是
B. 若 ，则曲线 椭圆
C. 若 ，则曲线 是双曲线
D. 若 ，则曲线 的离心率为
11. 在正三棱台 中， ， ，且等腰梯形所在的侧面与底面 所成夹角的正切
值均为2，则下列结论正确的有（ ）
A. 正三棱台 的高为
B. 正三棱台 的体积为
C. 与平面 所成角的正切值为1
D. 正三棱台 外接球的表面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 ______.
13. 从数字 ， ， ， 中随机取一个数字，第一次取到的数字为 ，再从数字 ，…， 中
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学科网（北京）股份有限公司随机取一个数字，则第二次取到数字为 的概率是______.
14. 已知抛物线 ，从抛物线内一点 发出平行于 轴的光线经过扡物线上点 反射后交抛
物线于点 ，则 的面积为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 若锐角 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 的面积为
（1）求 ；
（2）求 的取值范围.
16. 如图，在四面体 中， ， ， ， ，M是
的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
17. 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 上一点 到左焦点的距离的最小值为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于 、 两点，且 ，求 面积的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 ，其中 为常数.
（1）当 时，试讨论 的单调性；
（2）若函数 有两个不相等的零点 ， ，
（i）求 的取值范围；
.
（ii）证明：
19. 已 知 数 列 是 正 整 数 的 一 个 全 排 列 ， 若 对 每 个
都有 或 ，则称 为 数列
（1）列出所有 数列 的情形；
（2）写出一个满足 的 数列 的通项公式；
（3）在 数列 中，记 ，若数列 是公差为 的等差数列，求证：
或 .
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