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郴州市 2025 届高三第一次教学质量监测试卷
数学
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合解不等式求出取值范围，再根据交集求公共部分求得结果.
【详解】集合 ，则 ，
集合 ，则 ，
∴ ，
故选：D.
2. 设复数 ，则 的共轭复数 在复平面内对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出 ，再求出其共轭复数对应点的坐标.
【详解】依题意， ，
所以 在复平面内对应点的坐标为 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司3. 设 ，向量 ， ，则 是 的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可.
【详解】当 时，向量 ， ，
此时有 ，所以 ，故是充分条件；
当 时， ，解得 ，故不是必要条件；
所以 是 的充分不必要条件，
故选：B.
4. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 与 分别平方相加，得到答案.
【详解】 两边平方得 ①，
又 ，故 ，两边平方得
②，
式子①+②得， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，故 .
故选：C
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在 上函数值符号，即可得确定图象.
【详解】由解析式，知 的定义域为 ，
，
所以 为奇函数，
当 时， ， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，在 上 ，
结合各项函数图象，知：C选项满足要求.
故选：C
6. 已知函数 在R上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数
值，从而得到不等式，求出答案.
【详解】显然 在 上单调递减，
要想 在R上单调递减，
则 ，解得 .
故选：D
7. 已知正方体 中，点 、 满足 ，则平面 截正方体
形成的截面图形为（ ）
A. 六边形 B. 五边形
C. 四边形 D. 三角形
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 上靠近 的三等分点，作出
截面图形可得结论.
【详解】如图，
因为点 、 满足 ，
点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 上靠近 的三等分点，
延长 与交于点 ，连接 交 于 ，
延长 交于点 ，连接 交 于 ，连接 ，
则五边形 为所求截面图形.
故选：B．
8. 已知 ，若 有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由同构的思想可知，若 有两个零点，则 有两个解，即
有两解，分离变量求导即可
【详解】解：由题意可知，若 有两个零点，则 有两个解，
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学科网（北京）股份有限公司等价于 有两个解，
令 ，原式等价于 有两个解，
即 有两个大于零的解.
解 ，可得 ，令 ，
则 ，当 时， ，当 时， ，
所以ℎ(x)在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，ℎ(x)图像如图：
所以当 时， 有两个交点，即 有两个零点.
故选：A
【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成
自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解.
二、多项选择题（本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知随机变量 ，则
B. 已知随机变量 ，
C. 数据 ， ， ， ， ， ，10的第 百分位数是
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学科网（北京）股份有限公司的
D. 样本甲中有 件样品，其方差为 ，样本乙中有 件样品，其方差为 ，则由甲乙组成 总体样本的
方差为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用二项分布的期望公式及期望性质可判断A，利用正态曲线的对称性可判断B，根据百分位数
的求法可判断C，利用两组数据方差的特征可判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，因为随机变量 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以数据 的第 百分位数是 ，故C正确；
对于D，记样本甲，乙的平均数分别为 ，由甲乙组成的总体样本的平均数为 ，
则甲乙组成的总体样本的方差为 ，
故D不正确.
故选：ABC.
10. 已知曲线 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则曲线 表示两条直线
B. 若 ，则曲线 是椭圆
C. 若 ，则曲线 是双曲线
D. 若 ，则曲线 的离心率为
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【解析】
【分析】根据 的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可.
【详解】由题意，曲线 ， ，
若 ，则 ，此时曲线 ，表示两条直线，故A正确；
若 ，又 ，则 ，
曲线 ，可化为 ，
当 时，则曲线 表示圆，
当 时，则曲线 表示椭圆，故B错误；
若 ，又 ，则 ，则曲线 表示双曲线，故C正确；
若 ，又 ，
所以 ，
则曲线 为 ，
则曲线 为等轴双曲线，离心率为 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 在正三棱台 中， ， ，且等腰梯形所在的侧面与底面 所成夹角的正切
值均为2，则下列结论正确的有（ ）
A. 正三棱台 的高为
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学科网（北京）股份有限公司B. 正三棱台 的体积为
C. 与平面 所成角的正切值为1
D. 正三棱台 外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】将正棱台补全为一个正棱锥 ，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧
棱与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.
【详解】将正棱台补全为一个正棱锥 ，如下图示，
其中 分别为上下底面的中心， 为 的中点，
易知 ，则 为等腰梯形所在的侧面与底面 所成夹角，
所以 ，而 ，则 ，
根据棱台上下底面相似，知 ，即 ，故 ，A错；
由 ， ，
所以 ，B对；
由图知： 为 与平面 所成角，则 ，C对；
若 为正三棱台 外接球的球心，则其半径 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，可得 ，
所以 ，故外接球表面积为 ，D对.
故选：BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列前 项和的性质以及基本量的运算转化 ，再用 表示 ，借助于两
者之间的关系计算结果.
【详解】解：由数列前 项和的性质可知： ，即 ，
则 .
故答案为：
13. 从数字 ， ， ， 中随机取一个数字，第一次取到的数字为 ，再从数字 ，…， 中
随机取一个数字，则第二次取到数字为 的概率是______.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.
【详解】记事件 为“第一次取到数字 ”， ，
事件B为“第二次取到的数字为 ”，
由题意知 是两两互斥的事件，且 （样本空间），
.
故答案为： .
14. 已知抛物线 ，从抛物线内一点 发出平行于 轴的光线经过扡物线上点 反射后交抛
物线于点 ，则 的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可.
【详解】由抛物线的光学性质知，直线 与 轴的交点为抛物线的焦点，
的焦点为 ，故 与 轴的交点横坐标为 ，
根据题意，画出草图，如下图所示，
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学科网（北京）股份有限公司令 得 ，解得 ，又 过焦点，
所以 方程为： ，
即 ，联立 ，
得 ，解得 或 ，所以
∴ 的 边上的高为 ，
又 ，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 若锐角 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 的面积为
（1）求 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案；
（2）由题可得 ，后由正弦定理可得 ，后由正切函数单调性可得答案.
【小问1详解】
由余弦定理， ，又三角形面积为 ，
则 ，又由题 ，则 ；
【小问2详解】
由（1）， ，又 为锐角三角形，
则 .
由正弦定理： .
因 在 上单调递增，则 时， .
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 .
16. 如图，在四面体 中， ， ， ， ，M是
的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
的
【分析】（1）由线面垂直 判定定理可证 平面 ，即可建立空间直角坐标系，结合空间向量的
坐标运算代入计算，即可证明；
（2）由二面角的向量求法，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为 ，且 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，又 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，则 ，即 ，
以 为原点，分别以 为 轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
又M是 的中点，则 ， 是 的中点，则 ，
且 ，则 ，则 ，
所以 ，因为 平面 ，取 为平面 的一个法向量，
且 ，因为 ，所以 ，
则 平面 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，取 ，则 ，
则平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为⃗n=(a,b,c)，
则 ，解得 ，取 ，则 ，
则平面 的一个法向量为 ，
设二面角 为 ，显然 为锐角，
则 .
所以二面角 的余弦值为 .
17. 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 上一点 到左焦点的距离的最小值为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于 、 两点，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）设出椭圆 的标准方程，由离心率及最小距离求出 即可.
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学科网（北京）股份有限公司（2）按直线 是否垂直于坐标轴分类，求出 ，进而表示出三角形面积，再借助二次函数
求出范围即可.
【小问1详解】
依题意，设椭圆 的标准方程为 ，半焦距为 ，
由椭圆 的离心率为 ，得 ，则 ，
设 ，则 ，椭圆 的左焦点 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，因此 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
当直线 不垂直于坐标轴时，直线 的斜率存在且不为0，设其方程为 ，
由 消去 得 ，则 ，
直线 ，同理 ，
则 的面积
，令 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司当直线 垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令 ， ，
所以 面积的取值范围是 .
18. 已知函数 ，其中 为常数.
（1）当 时，试讨论 的单调性；
（2）若函数 有两个不相等的零点 ， ，
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
【答案】（1）答案见解析；
（2）（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性；
（2）（i）结合（1）的单调性判断 、 的符号，排除 ，再在 的情况下研究 的单
调性和最值，根据零点的个数求参数范围；
（ ii ） 由 （ i ） 有 ， 分 析 法 将 问 题 化 为 证 明 ， 进 而 构 造
并利用导数研究其符号，即可证结论.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题设 ，且 ，
当 时，在 上 ，在 上 ，在 上 ，
所以，在 、 上 单调递增，在 上 单调递减；
当 时，在 上 恒成立，故 在 上单调递增；
当 时，在 上 ，在 上 ，在 上 ，
所以，在 、 上 单调递增，在 上 单调递减.
【小问2详解】
（i）由 ，
若 时， ，
令 且 ，则 ，
所以 时 ， 时 ，
故 在 上递增，在 上递减，则 ，
所以 ，
结合（1）中 的单调性，易知 不可能出现两个不相等的零点，
又 时， 在 上只有一个零点，不满足，
所以 ，此时，在 上 ，在 上 ，
故在 上 单调递减，在 上 单调递增，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 趋向于0或负无穷时， 趋向正无穷，只需 成立，
显然 在 上递减，且当 时 ，
所以， 时 恒成立，即所求范围为 ；
（ii）由（i），在 时， 存在两个不相等 的零点 ，
不妨令 ，要证 ，即证 ，而 ，
由（i）知：在 上 单调递增，只需证 ，
由 ，则
令 ，且 ，
则
，
所以，在 上 ，即 在 上递增，
所以 ，即 成立，
所以 ，得证.
【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在 ，进而利用导数研
究其最值求范围，再令 ，将问题转化为证 是关键.
19. 已 知 数 列 是 正 整 数 的 一 个 全 排 列 ， 若 对 每 个
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学科网（北京）股份有限公司都有 或 ，则称 为 数列
（1）列出所有 数列 的情形；
（2）写出一个满足 的 数列 的通项公式；
（3）在 数列 中，记 ，若数列 是公差为 的等差数列，求证：
或 .
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【
分析】（1）讨论 ，由条件确定 ，由此确定 ，可得结论；
（2）由（1）确定 的前 项，构造数列满足 ，证明此时满足条件，由此确定 ；
（3）由条件可得 ， ，
通过讨论，证明结论.
【小问1详解】
若 ，则 或 ，
当 ， 时， ， ， ，此时 为 ，
当 ， 时， ， ， ，此时 为 ，
同理可得 可能为： 或 或 或
或 或 或 或 ，
【小问2详解】
若将 记为 的第一组数，
构造数列满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司则对任意的 ， ，
或 ，
当 时， 符合要求，
，
.
综上所述： ，
同理可得若将 记为的第一组数，则 ， ，
【小问3详解】
为等差数列 .
，
且由 或3，可得 或 ，
且 ，
① 若 ，则 ， ，不符题意，
② 若 ，则 ， ，不符题意，
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学科网（北京）股份有限公司③ 若 ，则 ，
当 时， ，不符题意，
当 时， 或 ，
所以可以找到这样的 使之成立(例如第 (2) 问中的结论)，
④ 若 ，则 ，可得 ，不符题意，
⑤ 若 ，则 ，
当 时， ，不符题意
的
当 时，同③可以找到这样 使之成立 (例如第(2)问中的结论)
⑥ 若 ，则 ， ，不符题意，
综上所述，若 为等差数列，则 或 .
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法宝.
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学科网（北京）股份有限公司
