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高中 2022 级第二学年末教学质量测试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．ABD 10．CD 11．ABC
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12． ； 13． ； 14．4．
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17
分，
共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况：
高二年级仅2名同学入选校队有 种；········································2分
高二年级仅3名同学入选校队有 种；·········································3分
高二年级4名同学入选校队有 种；·············································4分
高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法．··························6分
（2）由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3，································7分
校队由0个女生4个男生组成时， ，···························8分
校队由1个女生3个男生组成时， ， ··························9分
校队由2个女生2个男生组成时， ，·························10分
校队由3个女生1个男生组成时， ， ························11分
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
数学试题卷 第1页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司P
···································································································12分
随机变量X的均值为： ．··························13分
16．解：（1） ，令 ，则 ， ，·············2分
①当a=0时， ，所以 为增函数，故 无极值点；·······3分
②当a>0时，当x变化时， 及 变化如下表：
x −a
+ 0 − 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知 的极值小点为 ，其极大值点−a；···································5分
③当a<0时，当x变化时， 及 变化如下表：
x −a
+ 0 − 0 +
极小
递增 极大值 递减 递增
值
由此表可知 的极值小点为−a，其极大值点 ．···································7分
综上所述，当a=0时， 无极值点；当a>0时， 的极值小点为 ，极大值点
−a；当a<0时， 的极值小点为−a，其极大值点 ．·····························8分
（2）方法一：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则 [0，1]， ；································································9分
由已知可得， ，则 ，·············································10分
数学试题卷 第2页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司由（1）②可知， 在区间[0， ]上单调递减，在[ ，1]上单调递增，
∴ ，···········································11分
······················································································13分
∴ ，
， ，则 成立，解得： ，
∵
∵ ，
∴当 时， ，即 的最大值为 ，···14分
所述，满足题意的 ．···························································15分
综上
方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1，
则 [0，1]， ；·································································9分
由已知可得， ，则 ，···········································10分
由（1）②可知， 在区间[0， ]上单调递减，在[ ，1]上单调递增，
∴ ，···········································11分
∴ ······················································································13分
，
∵ ， ，
令 ，则 的零点为 ，且 在 上单调
递增，
数学试题卷 第3页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司∵ ，则 ，
∴当 时，则 成立，则 ，即 的最大值为
，符合题意，·········································································14分
综上所述， ．··········································································15分
17．解：（1）由 ，可知当 时， ；··················1分
当 时， ，即 ，其中 也满足；
综上， ．·····························································3分
又数列 满足 ，且 ，
当 时，可得：
，
········································································································5分
当 时， 适合上式，
所以数列 的通项公式为 ．·······························7分
（2）由于 ，·····················································8分
则 ，·············10分
即 ， ·································12分
两式相减得： ，
，·······················································14分
所以 ．············································15分
数学试题卷 第4页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司18．解析：（1） ，则 ，····························1分
∴切线斜率为： ，又 ，··················································2分
∴所求切线方程为 ；·····························································4分
（2）方法一：函数 的定义域是 ，
∴ ，······································································5分
①若a≤0，则 ， 在 上单调递增，
， ，
∵ ， ， ，则 ，
则 仅有一个零点，且零点位于(1， ]；···········································7分
②当 ， 在 单调递减， 在 单调递增；
因为 的最小值为： ，
若a>1时， ，此时 无零点；··········································8分
若a=1时， ，此时 仅有一个零点；·································9分
若01．···············································································10分
方法二：令 ，则 ，····················································5分
设 ，则 ，·······················································7分
∴ 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
∴ 的最大值为 ，且x>e， ，·········································9分
∴要使 在定义域上无零点，则a>1．···············································10分
（3）令 (x≥1)，
则 ························································11分
数学试题卷 第5页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司①当a<1时，x−a>0，∴ 时， ， 在 上单调递减，
此时， ，不符合题意；·············································13分
②当a=1时，
∴ 时， ， 在 上单调递减，
∴ ，即x=1时， ，符合题意；····································15分
③当a>1时，
∴ 时， ， 在(1，a)上单调递增；
时， ， 在 上单调递减，
∴ ， ，符合题意；
综上所述，a≥1．··············································································17分
19．解：设事件 表示：第 天中午去A餐厅用餐，
事件 ：第i天中午去B餐厅用餐，其中 ， ，……．···························1分
（1）小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：
∴ ；····················4分
（2）设 ，依题可知， ， ，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
即 ，而 ，
∴ ，·······························································5分
∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴ .·································································6分
由全概率公式可知 ，
即 ，··········································································7分
∴ ，而 ，························································8分
∴数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，······························9分
∴ ，即 ；·····················································10分
（3）设王某第i天去B餐厅的次数为Xi ，则Xi 的所有可能取值为0，1，·····11分
数学试题卷 第6页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司当Xi=0时表示王某第i天没去B餐厅，当Xi=1时表示王某第i天去B餐厅，
∵ ， ，
∴ ，··················································13分
∵ ， ， ，2，……，······································15分
∴当 n∈ N*时，
，·······················16分
故 ．··································································17分
数学试题卷 第7页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司
